Túneles de agua

Situación cotidiana

La parábola tiene vértice en (0,4) y corta al eje x en (-1,5;0) y (1,5;0). Como el eje de simetría es el eje y, su ecuación puede escribirse como:

y=ax^2+4

Usamos el punto (1,5;0):

0=a(1,5)^2+4

0=2,25a+4

a=-\frac{4}{2,25}=-\frac{16}{9}

Por tanto, la función de la parábola es:

y=-\frac{16}{9}x^2+4

En forma de ecuación general:

16x^2+9y-36=0

Comprobación de la respuesta propuesta

La respuesta propuesta, 1,7x^2-0x+4=0, es incorrecta. Al sustituir x=1,5 se obtiene:

1,7(1,5)^2+4=1,7(2,25)+4=7,825\neq 0

Por ello, no pasa por el punto (1,5;0). La ecuación correcta es 16x^2+9y-36=0.

Las soluciones cuando y=0 son:

16x^2-36=0

16x^2=36

x^2=\frac{9}{4}

x=\pm\frac{3}{2}=\pm1,5

Así se obtienen los cortes x=-1,5 y x=1,5.

Altura de la parábola

La altura máxima corresponde a la coordenada y del vértice. Como el vértice es (0,4), la altura máxima es de 4 metros.

Situación del túnel y los turistas

Según el enunciado, la altura inicial es 4 m y disminuye a razón de 2,5 m por segundo. La altura después de t segundos se representa por:

h(t)=4-2,5t

Como la altura no puede ser negativa, el agua desaparece cuando:

4-2,5t=0

t=\frac{4}{2,5}=1,6\text{ s}

En los segundos 8 y 9, la parábola ya desapareció, por lo que la altura del agua es 0 m. Los dos turistas no se mojan.

Además, el tiempo que tarda cada turista en recorrer los 5 m del túnel es:

t=\frac{5}{3,5}=\frac{10}{7}\approx1,43\text{ s}

Sin embargo, ambos comienzan a cruzar después de que el agua ya ha desaparecido.

Situación de las plantas de naranjo

Si se necesitan n plantas por carril y hay n carriles, el esquema completo requiere n^2 plantas. Como al campesino le faltan 8 plantas, compró:

P=n^2-8

Al construir un carril menos y colocar una planta menos en cada carril, utiliza:

(n-1)^2

y le sobran 19 plantas. Entonces:

n^2-8=(n-1)^2+19

Desarrollamos:

n^2-8=n^2-2n+1+19

n^2-8=n^2-2n+20

2n=28

n=14

El número de plantas compradas es:

P=14^2-8=196-8=188