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Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Método gráfico

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La solución de un sistema de inecuaciones es la intersección de las regiones que satisfacen todas las inecuaciones. El sistema $\begin{cases}x>1\\y>3\\x+y\leq 2\end{cases}$ es incompatible porque no tiene región común.

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Solución — Página 64

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Método gráfico

Para resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

Se reemplaza cada signo de desigualdad por un signo igual para obtener la recta frontera.
Se calculan dos puntos de cada recta, generalmente sus intersecciones con los ejes.
Se representa cada recta en el plano cartesiano.
Se sombrea el semiplano que satisface cada inecuación. Si la desigualdad es estricta, la recta se dibuja discontinua; si incluye igualdad, se dibuja continua.
La solución del sistema es la intersección de todas las regiones sombreadas.

Ejemplo de representación

Para $x-y=4$ :

Si $x=0$ , entonces $y=-4$ , por lo que se obtiene $A(0,-4)$ .
Si $y=0$ , entonces $x=4$ , por lo que se obtiene $B(4,0)$ .

Para $3x+2y=3$ :

Si $x=0$ , entonces $y=\frac{3}{2}$ , por lo que se obtiene $C\left(0,\frac{3}{2}\right)$ .
Si $y=0$ , entonces $x=1$ , por lo que se obtiene $D(1,0)$ .

Se sombrean las regiones correspondientes a las inecuaciones. Por ejemplo, el punto $P(2,-4)$ verifica:

$2-(-4)=6>4$

$3(2)+2(-4)=-2<3$

Por lo tanto, $P(2,-4)$ pertenece a la región solución de ese sistema.

Definiciones importantes

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos o más inecuaciones, como:

$\alpha x+\beta y+c>0,\quad \alpha x+\beta y+c<0,\quad \alpha x+\beta y+c\geq 0,\quad \alpha x+\beta y+c\leq 0.$

Un par ordenado $(x,y)$ es solución si satisface simultáneamente todas las inecuaciones. La región que contiene todas las soluciones se llama región factible. Si no existe una región común, el sistema es incompatible.

Sistema incompatible del ejemplo final

Se considera el sistema:

$\begin{cases} x>1\\ y>3\\ x+y\leq 2 \end{cases}$

Las rectas frontera son $x=1$ , $y=3$ y $x+y=2$ . Para la tercera recta se usan los puntos $(0,2)$ y $(2,0)$ .

Las dos primeras inecuaciones exigen estar a la derecha de $x=1$ y por encima de $y=3$ . En esa zona se cumple necesariamente:

$x+y>1+3=4$

Esto contradice la condición $x+y\leq 2$ . Por ello, no existe ningún punto común a las tres regiones y el sistema es incompatible.

Contenido de la página

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

La solución de una inecuación con dos incógnitas es la región del plano que satisface la desigualdad.

Procedimiento gráfico

Se transforma cada inecuación en una ecuación para obtener su recta frontera, se calculan dos puntos, se grafica la recta y se sombrea el semiplano correspondiente. La solución del sistema es la zona común a todas las regiones sombreadas.

Región factible

Un par ordenado $(x,y)$ es solución cuando cumple simultáneamente todas las inecuaciones del sistema. La región formada por esos puntos se llama región factible. Si no hay puntos comunes, el sistema es incompatible.

Ejemplo

El sistema $\begin{cases}x>1\\y>3\\x+y\leq 2\end{cases}$ no tiene solución, porque $x>1$ y $y>3$ implican $x+y>4$ , lo cual contradice $x+y\leq 2$ .

Ejemplos resueltos

Determinar si $P(2,-4)$ satisface el sistema $\begin{cases}x-y>4\\3x+2y<3\end{cases}$ .

Se reemplaza $x=2$ y $y=-4$ en cada inecuación:

$2-(-4)=6>4$

$3(2)+2(-4)=-2<3$

Como se cumplen ambas desigualdades, $P(2,-4)$ es un punto de la región solución.

Analizar el sistema $\begin{cases}x>1\\y>3\\x+y\leq 2\end{cases}$ .

De $x>1$ y $y>3$ se deduce que $x+y>4$ . Sin embargo, la tercera inecuación exige $x+y\leq 2$ . Las condiciones son contradictorias, por lo que el sistema es incompatible y su región solución es vacía.

Fórmulas y ecuaciones

La solución del sistema es la intersección de las regiones solución de todas las inecuaciones.

Si $x>1$ y $y>3$ , entonces $x+y>4$ .

x-y=4

3x+2y=3

$\alpha$ $x+\beta$ y+c>0

$\alpha$ $x+\beta$ y+c<0

$\alpha$ $x+\beta$ $y+c\geq$ 0

$\alpha$ $x+\beta$ $y+c\leq$ 0

$\begin{cases}x>1\\y>3\\x+y\leq 2\end{cases}$

Glosario (5)

Inecuación: Desigualdad matemática que contiene una o más incógnitas.
Recta frontera: Recta obtenida al cambiar el signo de desigualdad por un signo igual.
Región factible: Zona del plano cuyos puntos satisfacen simultáneamente todas las inecuaciones del sistema.
Sistema incompatible: Sistema que no tiene ningún punto que cumpla todas sus inecuaciones.
Par ordenado: pareja de valores $(x,y)$ que representa un punto en el plano cartesiano.

Preguntas para practicar

Según tu experiencia, ¿qué importancia tienen las relaciones interpersonales?

Temas y conceptos clave

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitasRepresentación gráfica de inecuacionesRegión solución o región factibleSistemas incompatiblesRecta fronteraSemiplano soluciónIntersección de regionesRegión factibleSistema incompatibleVerificación de puntos

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Figuras de la página (2)

Gráfica con la intersección de dos regiones sombreadas y el punto de verificación $P(2,-4)$. — Figura 2 image

Representación de las rectas $x=1$, $y=3$ y $x+y=2$. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se representa gráficamente una inecuación lineal con dos incógnitas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es la región factible de un sistema de inecuaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se reconoce gráficamente un sistema incompatible?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ubicar puntos en el plano cartesiano
• Graficar rectas a partir de dos puntos
• Resolver ecuaciones lineales
• Interpretar signos de desigualdad

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Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Método gráfico

Recuerda. La solución a una inecuación con dos incógnitas es la región que satisface la inecuación.

Para resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas se utiliza el proceso gráfico de la siguiente manera:

Representamos gráficamente cada inecuación. Cambiamos el signo de la desigualdad por igual y buscamos dos puntos de cada recta para graficarla.

x-y=4 13x+2y=3 Six=0,y=-4 A(0,-4) ¡Six=0,y=3/2 C(O, 3/2) Siy=0,x=4 B(4,0) ‘Siy=0,x=1 D(1,0)

Sombreamos la solución de cada inecuación. La solución del sistema es la intersección de las regiones sombreadas.

Verificamos la solución, tomamos un punto de la parte donde coinciden los dos sombreados y reemplazamos en el sistema de inecuaciones.

PQ, -4)12- (24) >4 3(2) + 2(-4) <3

6>4 —2e3

x-y>4 entonces

3x + 2y<3 Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más de estas inecuaciones: ax+by+c>0; ax+by+c<0; ax+by+c>0; ax+by+c<0.

El par ordenado (x, y) es solución del sistema si satisface simultáneamente a todas las inecuaciones. A la región solución, si existe, se le llama región factible. Si es vacía, el sistema es incompatible.

Resolvemos el siguiente sistema de inecuaciones lineales con dos incóginitas.

Sistema de inecuaciones lineales

x>1 yes x+y<2

Representamos gráficamente.

Sombreamos la solución de cada inecuación y bus- camos la intersección de las regiones sombreadas.

x= 1, recta paralela al eje y. y =3, recta paralela al eje x. x+y=2, (0, 2) y (2, 0)

YA 6 x=1 4 y=3 2 2 7 ae ho En esta representación gráfica no existe una región REST NRO común para las tres inecuaciones. Por lo tanto, el Y sistema es incompatible. A x+y=2

Me M.4.1.41, Resolver un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas de manera gráfica (en el plano) y reconocer la zona común sombreada como solución del sistema.

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