Trabajen en equipo y resuelvan gráficamente: a) 0,2x+y<3,4y-5; b) y≥q0; c) 1/4x-2y≤q12(y-1).

a) y>1/12x+25/12; b) y≥q0; c) y≥q1/56x+6/7

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Resolución gráfica de inecuaciones lineales

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $y>\frac{1}{12}x+\frac{25}{12}$ , semiplano superior; b) $y\geq0$ , semiplano superior; c) $y\geq\frac{1}{56}x+\frac{6}{7}$ , semiplano superior.
a) 4; b) 3; c) 1; d) 2.
a) Verdadera; b) Verdadera; c) Falsa.
Aplicaciones: presupuestos, metas de ventas, límites de capacidad, dietas y horarios.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 63

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 4

Para resolver gráficamente cada inecuación se transforma a la forma $y$ en función de $x$ . La recta frontera se dibuja discontinua cuando la desigualdad es estricta y continua cuando incluye la igualdad.

Parte 4.a

$0,2x+y<3,4y-5$

$0,2x+5<2,4y$

$y>\frac{0,2x+5}{2,4}$

$y>\frac{1}{12}x+\frac{25}{12}$

La recta frontera es $y=\frac{1}{12}x+\frac{25}{12}$ y se dibuja discontinua. Se sombrea el semiplano superior.

Parte 4.b

$y\geq 0$

La recta frontera es el eje $x$ , es decir, $y=0$ . Como se incluye la igualdad, se dibuja una línea continua y se sombrea el semiplano superior.

Parte 4.c

$\frac{1}{4}x-2y\leq 12(y-1)$

$\frac{1}{4}x-2y\leq 12y-12$

$\frac{1}{4}x+12\leq 14y$

$y\geq\frac{1}{56}x+\frac{6}{7}$

La recta frontera es $y=\frac{1}{56}x+\frac{6}{7}$ y se dibuja continua. Se sombrea el semiplano superior.

Ejercicio 5

Se despeja $y$ en cada inecuación y se compara con los gráficos numerados:

$3x-3y<1$ equivale a $y>x-\frac{1}{3}$ : corresponde al gráfico 4.
$x-y>7$ equivale a $y<x-7$ : corresponde al gráfico 3.
$4x-9y<2$ equivale a $y>\frac{4}{9}x-\frac{2}{9}$ : corresponde al gráfico 1.
$x-12y>0$ equivale a $y<\frac{1}{12}x$ : corresponde al gráfico 2.

Ejercicio 6

Parte 6.a

La afirmación es verdadera para una inecuación lineal genuina con dos incógnitas, porque su conjunto solución es un semiplano no vacío.

Parte 6.b

La afirmación es verdadera: el conjunto solución de una inecuación lineal con dos incógnitas es uno de los semiplanos determinados por su recta frontera.

Parte 6.c

La afirmación es falsa. En $2x+y>0$ la desigualdad es estricta, por lo que los puntos de la recta frontera $2x+y=0$ no pertenecen al conjunto solución.

Ejercicio 7

Tres aplicaciones de las inecuaciones son:

Determinar cuánto dinero se puede gastar sin superar un presupuesto: $g\leq P$ .
Calcular cuántos productos se deben vender para alcanzar una meta mínima: $v\geq m$ .
Establecer límites de capacidad, como el número de personas que pueden ingresar a un lugar: $p\leq c$ .
Planificar dietas respetando cantidades máximas o mínimas de nutrientes.
Organizar horarios considerando que el tiempo disponible no sea superado.

Contenido de la página

Idea principal

Una inecuación lineal con dos incógnitas puede expresarse, generalmente, como $y>mx+b$ , $y\geq mx+b$ , $y<mx+b$ o $y\leq mx+b$ . Primero se grafica la recta frontera y luego se determina qué lado del plano satisface la desigualdad.

Si aparece $>$ o $<$ , la frontera es discontinua.
Si aparece $\geq$ o $\leq$ , la frontera es continua.
Las desigualdades $y>$ y $y\geq$ se representan sombreando arriba de la recta.
Las desigualdades $y<$ y $y\leq$ se representan sombreando debajo de la recta.

La página también presenta ejercicios de análisis lógico y aplicaciones prácticas de las inecuaciones.

Ejemplos resueltos

Resolver gráficamente $x-y>7$ .

$x-y>7\Longrightarrow -y>7-x\Longrightarrow y<x-7$ . Se grafica la recta discontinua $y=x-7$ y se sombrea la región inferior.

Fórmulas y ecuaciones

$3x-3y<1\Longleftrightarrow y>x-\frac{1}{3}$

$x-y>7\Longleftrightarrow y<x-7$

$4x-9y<2\Longleftrightarrow y>\frac{4}{9}x-\frac{2}{9}$

$x-12y>0\Longleftrightarrow y<\frac{1}{12}x$

0,2x+y<3,4y-5

y> $\frac{1}{12}$ x+ $\frac{25}{12}$

$y\geq0$

$\frac{1}{4}$ $x-2y\leq12(y-1)$

$y\geq$ $\frac{1}{56}$ x+ $\frac{6}{7}$

3x-3y<1

x-y>7

4x-9y<2

x-12y>0

2x+y>0

Glosario (4)

Inecuación: Desigualdad algebraica que compara dos expresiones mediante signos como $<$, $>$, $\leq$ o $\geq$.
Recta frontera: Recta que se obtiene al reemplazar el signo de desigualdad por un signo de igualdad.
Semiplano: Cada una de las dos regiones en que una recta divide al plano.
Conjunto solución: Conjunto de puntos que hacen verdadera una inecuación.

Preguntas para practicar

¿Por qué una recta frontera es discontinua en una desigualdad estricta?

¿Cómo se puede verificar el semiplano solución usando un punto de prueba?

¿Qué otras situaciones de la vida diaria pueden representarse mediante inecuaciones?

Temas y conceptos clave

Resolución gráfica de inecuacionesRecta fronteraSemiplano soluciónAplicaciones de las inecuacionesUna inecuación lineal con dos incógnitas divide el plano en dos regiones.La recta frontera se dibuja continua si se incluye la igualdad.La recta frontera se dibuja discontinua si la desigualdad es estricta.El conjunto solución es un semiplano.Un punto de prueba permite identificar el semiplano correcto.

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