Representa gráficamente en tu cuaderno la región solución de los sistemas a) y b).

a) x≥q0, y≥q0, y≥qx-3/2, y≥q x-1. b) x≥q2, y≤q3.

Formula el sistema de desigualdades para la compra de pollitos y patitos e identifica las combinaciones posibles.

p≥q0, d≥q0, p+d≥q16, p+1.5d≤q30

Resuelve los sistemas de inecuaciones lineales del trabajo colaborativo: a), b) y c).

a) y>x-7/3, y>2x. b) x≥q2, 2x-3≤q y<5x-1/2. c) x≤q1/11, -3x+3/2≤q y≤q-3/2x-3/2.

Encuentra el sistema de inecuaciones lineales que forma cada región factible de las gráficas a) y b).

6a) x≥q0, y≥q0, 3y-2x≤q6, 2x+y≤q10. 6b) y≤q x, y≥q-x+2, x≤q4.

Indaga en qué consisten los problemas de optimización.

Optimizar consiste en hallar el máximo o mínimo de una función objetivo bajo determinadas restricciones.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Regiones factibles y problemas de optimización

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

4a) Región: $x\geq0$ , $y\geq0$ , por encima de $y=\frac{x-3}{2}$ y $y=x-1$ .

4b) Región equivalente: $x\geq2$ , $y\leq3$ .

Sistema: $p,d\geq0$ , $p+d\geq16$ , $p+1.5d\leq30$ ; las combinaciones son los puntos enteros de esa región.

Trabajo 5a) Región por encima de $y=\frac{x-7}{3}$ y $y=2x$ .

Trabajo 5b) $x\geq2$ , $2x-3\leq y<\frac{5x-1}{2}$ .

Trabajo 5c) $x\leq\frac{1}{11}$ y $-3x+\frac{3}{2}\leq y\leq-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$ .

6a) $x\geq0$ , $y\geq0$ , $3y-2x\leq6$ , $2x+y\leq10$ .

6b) $y\leq x$ , $y\geq-x+2$ , $x\leq4$ .

Producción entera óptima: $1$ guagua pequeña y $1$ grande; beneficio máximo práctico: $\$ 5$.
La optimización determina el máximo o mínimo de una función objetivo bajo ciertas restricciones.

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Solución — Página 67

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 4

Parte 4.a

El sistema es: $x\geq 0,\qquad y\geq 0,\qquad x-2y\leq 3,\qquad x-y\leq 1.$

Despejando $y$ : $y\geq \frac{x-3}{2},\qquad y\geq x-1.$ La región solución está en el primer cuadrante y por encima de las rectas $y=\frac{x-3}{2}$ y $y=x-1$ . En el primer cuadrante, la condición $y\geq x-1$ resulta ser la más restrictiva. La región tiene como puntos importantes $(0,0)$ y $(1,0)$ , y se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia la derecha.

Parte 4.b

El sistema es: $x\geq 2,\qquad x-2y\geq -4,\qquad y\leq 3,\qquad -y+x\geq -2.$ Despejando $y$ : $y\leq \frac{x+4}{2},\qquad y\leq 3,\qquad y\leq x+2.$ Para $x\geq 2$ , las dos últimas condiciones superiores no restringen más que $y\leq 3$ . Por tanto, la región puede describirse como: $x\geq 2,\qquad y\leq 3.$ Es una región ilimitada situada a la derecha de $x=2$ y debajo de $y=3$ .

Ejercicio 5

Rosa

Sean $p$ el número de pollitos y $d$ el número de patitos. Como se trata de animales, $p,d$ son enteros no negativos.

El sistema que representa la situación es: $p\geq 0,\qquad d\geq 0,$ $p+d\geq 16,$ $p+1.5d\leq 30.$ En forma de fracción: $p+d\geq 16,\qquad 2p+3d\leq 60.$ Para identificar las combinaciones, se representan las rectas $p+d=16$ y $p+1.5d=30$ y se consideran los puntos enteros de la región que está por encima de la primera y por debajo de la segunda.

Si se fija un número $d$ de patitos, los valores posibles de pollitos son: $\max(0,16-d)\leq p\leq \left\lfloor 30-1.5d\right\rfloor,$ con $0\leq d\leq 20$ . Por ejemplo, algunas combinaciones son $(16,0)$ , $(15,1)$ , $(14,2)$ , $(10,6)$ , $(6,10)$ , $(0,16)$ y $(0,20)$ , donde cada par se expresa como $(p,d)$ .

Trabajo colaborativo, ejercicio 5

Parte 5.a

$x-3y<7,\qquad y>2x.$ Despejando: $y>\frac{x-7}{3},\qquad y>2x.$ La solución es la región situada por encima de ambas rectas. Las rectas se intersectan en: $2x=\frac{x-7}{3}\Rightarrow x=-\frac{7}{5},\qquad y=-\frac{14}{5}.$ Como las desigualdades son estrictas, las rectas se dibujan discontinuas.

Parte 5.b

$x\geq 2,\qquad y\geq 2x-3,\qquad 2y<5x-1.$ Despejando la última desigualdad: $y<\frac{5x-1}{2}.$ La región solución cumple: $x\geq 2,\qquad 2x-3\leq y<\frac{5x-1}{2}.$ Está a la derecha de $x=2$ , por encima de $y=2x-3$ y por debajo de $y=\frac{5x-1}{2}$ . La segunda recta se dibuja continua y la tercera, discontinua.

Parte 5.c

$3x+2y\leq -3,\qquad y\geq 4x-2,\qquad 6x+2y\geq 3.$ Despejando $y$ : $y\leq -\frac{3}{2}x-\frac{3}{2},$ $y\geq 4x-2,\qquad y\geq -3x+\frac{3}{2}.$ La región solución queda por debajo de $y=-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$ y por encima de las otras dos rectas. Puede describirse de manera equivalente como: $x\leq \frac{1}{11},\qquad -3x+\frac{3}{2}\leq y\leq -\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}.$

Ejercicio 6

Parte 6.a

En la gráfica, la región factible es el triángulo con vértices $(0,2)$ , $(3,4)$ y $(5,0)$ . Sus fronteras son $x=0$ , $y=0$ , $3y=2x+6$ y $2x+y=10$ . Por tanto: $x\geq 0,\qquad y\geq 0,\qquad 3y-2x\leq 6,\qquad 2x+y\leq 10.$

Parte 6.b

En la gráfica, la región factible tiene vértices $(1,1)$ , $(4,4)$ y $(4,-2)$ . Sus fronteras son $y=x$ , $y=-x+2$ y $x=4$ . Por tanto: $y\leq x,\qquad y\geq -x+2,\qquad x\leq 4.$

Ejercicio 7

problema-decisión

Sean $x$ las guaguas pequeñas y $y$ las guaguas grandes.

Restricción de decoración: $x+y\leq 2.$ Restricción de elaboración: $x+3y\leq 5.$ Además: $x\geq 0,\qquad y\geq 0.$ La función que se desea maximizar es: $B=2x+3y.$ Los vértices de la región factible son $(0,0)$ , $(2,0)$ , $(0,\frac{5}{3})$ y la intersección de las dos restricciones principales: $x+y=2,$ $x+3y=5.$ Restando las ecuaciones se obtiene $2y=3$ , de donde: $y=\frac{3}{2},\qquad x=\frac{1}{2}.$ Beneficios: $B(0,0)=0,$ $B(2,0)=4,$ $B\left(0,\frac{5}{3}\right)=5,$ $B\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{2}=5.5.$ En el modelo continuo, el máximo beneficio es de $\$ 5.50 $, producido con @@MATH_11@@ de guagua pequeña y @@MATH_12@@ de guagua grande. Como en la práctica las guaguas son unidades completas, se comparan las combinaciones enteras. La mejor combinación entera es producir una guagua pequeña y una grande, con un beneficio de$ $5$ .

Ejercicio 8

Los problemas de optimización buscan encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad, llamada función objetivo, cumpliendo determinadas restricciones. En programación lineal, las restricciones se expresan mediante ecuaciones o inecuaciones lineales y la solución óptima suele encontrarse evaluando la función objetivo en los vértices de la región factible.

Contenido de la página

Sistemas de inecuaciones y optimización

Para resolver gráficamente un sistema de inecuaciones se dibuja cada recta frontera y se determina el semiplano que cumple cada desigualdad. La intersección de todos los semiplanos es la región solución o región factible.

En un problema de optimización se define una función objetivo, que se maximiza o minimiza considerando las restricciones del problema. En una región poligonal, el valor óptimo se encuentra evaluando la función objetivo en los vértices.

Ejemplos resueltos

Una panadería produce guaguas pequeñas y grandes con restricciones de decoración y elaboración.

Se define $B=2x+3y$ y se consideran las restricciones $x+y\leq2$ , $x+3y\leq5$ , $x,y\geq0$ . Al evaluar los vértices, el modelo continuo da un máximo de $\$ 5.50 $; con unidades enteras, la mejor opción es$ (x,y)=(1,1) $, con beneficio de$ $5$ .

Fórmulas y ecuaciones

Beneficio = ganancia por unidad $\times$ cantidad producida

$2p+3d\leq60$

$x-2y\leq3$

$x-y\leq1$

$p+d\geq16$

$p+1.5d\leq30$

B=2x+3y

Glosario (5)

Región solución: Conjunto de puntos del plano que satisface simultáneamente todas las inecuaciones de un sistema.
Región factible: Región formada por todas las soluciones que cumplen las restricciones de un problema.
Restricción: Condición matemática que limita los valores posibles de las variables.
Función objetivo: Expresión que se desea maximizar o minimizar en un problema de optimización.
Vértice: Punto de esquina de una región poligonal; se usa para hallar valores óptimos.

Preguntas para practicar

¿Por qué en una solución gráfica las desigualdades estrictas se representan con líneas discontinuas?

¿Por qué las combinaciones de animales deben considerarse con números enteros?

¿Qué diferencia existe entre el máximo continuo y el máximo entero en un problema de producción?

Temas y conceptos clave

Sistemas de inecuaciones linealesRepresentación gráficaRegiones factiblesProblemas de optimizaciónInecuación linealRegión soluciónRegión factibleRestricciónFunción objetivoMáximo beneficio

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Figuras de la página (1)

Regiones factibles triangulares en planos cartesianos. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se grafica la región solución de un sistema de inecuaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se encuentra el máximo beneficio en un problema de programación lineal?

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¿Qué es una región factible y cómo se identifican sus vértices?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Representación de rectas en el plano cartesiano
• Despeje de variables en desigualdades
• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
• Operaciones con números enteros y fraccionarios

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Método de los vértices para resolver problemas de programación lineal

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1497 caracteres

EEE

c) NE

Representa gráficamente en tu cuaderno la región

solución del sistema.

a) x20 y20 xX-2ys3 x-ysl

b) { x22 xX-2y2-4 ys3 -y+xX2-2

. Rosa ha decidido criar pollos y patos en el patio de su casa. Ella tiene $ 30 y desea comprar al me- : nos 16 animalitos pequeños. Cada pollito cuesta :

$1 y cada patito$ 1,50.

a) Escribe un sistema de desigualdades que

represente al problema.

b) Identifica las posibles combinaciones de Actividad indagatoria

Indaga en qué consisten los problemas de

compras usando una gráfica.

BN Trabajo colaborativo

Trabajen en equipo y resuelvan los sistemas

de inecuaciones lineales con dos variables en sus cuadernos.

a) [x-3y<7 c) (3x + 2y <-3 y>2x y > 4x-2 b) (x22 6x + 2y > 3 2 2x3 2y <5x-1

. Encuentren el sistema de inecuaciones lineales

que forma la región factible.

a) |

| |

| | | | | |

| | pops | | E

Problema-decisión. Resuelvan el siguiente

problema:

Una panadería produce dos tipos de guaguas de pan: pequeña y grande. Para elaborar la guagua pequeña, se necesita una hora; para la guagua grande, tres horas. Cada guagua también debe ser decorada. Para decorar la guagua pequeña, se necesita una hora; para la guagua grande, también una hora. La panadería dispone para decorar de 2 horas y 5 horas para la elaboración. La ganancia por unidad es de $ 2 para la guagua de pan pequeña y $ 3 para la grande. ¿Cuál sería tu decisión en la planificación de producción para obtener un máximo beneficio?

optimización.

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