Explicar la diferencia entre inecuaciones y ecuaciones.

Ecuación: usa =; inecuación: usa >,<,≥q o ≤q.

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Solución gráfica de inecuaciones

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $2x-4y\geq 8 \iff y\leq \frac{x}{2}-2$ . Recta continua; se sombrea el semiplano que contiene a $(2,-3)$ .

b) $x+6y<-30 \iff y<-\frac{x}{6}-5$ . Recta punteada; se sombrea el semiplano que contiene a $(1,-10)$ .

Diferencia: una ecuación usa $=$ y busca valores que producen igualdad; una inecuación usa $>,<,\geq$ o $\leq$ y busca un conjunto de valores que cumplen una desigualdad.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 61

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ideas principales

Una inecuación con $\geq$ o $\leq$ se representa mediante una recta continua, porque los puntos de la recta pertenecen al conjunto solución.
Una inecuación con $>$ o $<$ se representa mediante una recta punteada, porque los puntos de la recta no pertenecen al conjunto solución.
Para determinar el semiplano solución se prueba un punto ubicado a un lado de la recta.

Ejemplo a

Inecuación:

$2x-4y\geq 8$

Cambiamos el signo $\geq$ por $=$ para obtener la recta frontera:

$2x-4y=8$

Despejamos $y$ :

$-4y=8-2x$

$y=\frac{2x-8}{4}=\frac{x}{2}-2$

Como el signo es $\geq$ , la recta se dibuja de forma continua. Algunos puntos de la recta son $(4,0)$ y $(0,-2)$ .

Probamos el punto $P(5,2)$ :

$2(5)-4(2)\geq 8$

$10-8\geq 8$

$2\geq 8$

La afirmación es falsa; por eso, ese lado no es la región solución.

Probamos el punto $P(2,-3)$ :

$2(2)-4(-3)\geq 8$

$4+12\geq 8$

$16\geq 8$

La afirmación es verdadera. Por tanto, la solución es el semiplano que está sobre o debajo de la recta según la forma de la inecuación. Al despejar $y$ , queda:

$y\leq \frac{x}{2}-2$

La recta frontera está incluida.

Ejemplo b

Inecuación:

$\frac{2}{3}x-2\left(\frac{1}{4}x-2y\right)<3y-5$

Simplificamos:

$\frac{2}{3}x-\frac{x-8y}{2}<3y-5$

Multiplicamos por $6$ para eliminar denominadores:

$4x-3x+24y<18y-30$

$x+24y<18y-30$

$x+6y<-30$

La recta frontera se obtiene reemplazando $<$ por $=$ :

$x+6y=-30$

Despejamos $y$ :

$6y=-30-x$

$y=-\frac{x}{6}-5$

Como el signo es $<$ , la recta se dibuja punteada y no pertenece a la solución.

Probamos el punto $P(0,1)$ :

$0+6(1)<-30$

$6<-30$

La afirmación es falsa; el punto no pertenece a la región solución.

Probamos el punto $P(1,-10)$ :

$1+6(-10)<-30$

$1-60<-30$

$-59<-30$

La afirmación es verdadera. Por tanto, la región solución es el semiplano que contiene al punto $(1,-10)$ y no incluye la recta frontera.

Contenido de la página

Representación gráfica

Las inecuaciones con $\geq$ o $\leq$ se representan con una recta continua. Las inecuaciones con $>$ o $<$ se representan con una recta punteada.

Para encontrar la región solución se cambia temporalmente el signo de desigualdad por $=$ , se grafica la recta y se prueba un punto de cada lado. El lado que cumple la inecuación es la región que debe sombrearse.

Ejemplos resueltos

Encontrar el conjunto solución de $2x-4y\geq 8$ .

La recta frontera es $y=\frac{x}{2}-2$ . Como el signo es $\geq$ , se dibuja una recta continua. Al despejar $y$ , la inecuación queda $y\leq \frac{x}{2}-2$ . Se sombrea el semiplano que contiene al punto $(2,-3)$ .

Hallar el conjunto solución de $\frac{2}{3}x-2\left(\frac{1}{4}x-2y\right)<3y-5$ .

Al simplificar se obtiene $x+6y<-30$ . La recta frontera es $x+6y=-30$ , o $y=-\frac{x}{6}-5$ . Como el signo es $<$ , se utiliza una recta punteada y se sombrea el semiplano que contiene a $(1,-10)$ .

Fórmulas y ecuaciones

Si la desigualdad es $\geq$ o $\leq$ , se usa una recta continua.

Si la desigualdad es $>$ o $<$ , se usa una recta punteada.

La región solución está formada por los puntos que satisfacen la inecuación.

$2x-4y\geq$ 8

y= $\frac{x}{2}$ -2

x+6y<-30

y=- $\frac{x}{6}$ -5

Glosario (4)

Continua: Línea que no tiene interrupciones.
Región: Espacio limitado que cumple una determinada condición o circunstancia.
Recta frontera: Recta que separa los puntos que cumplen una inecuación de los que no la cumplen.
Semiplano: Cada una de las dos regiones en que una recta divide al plano.

Preguntas para practicar

¿En qué situaciones de la vida cotidiana se pueden aplicar las inecuaciones?

¿Por qué una inecuación con $>$ se representa con una recta punteada?

¿Cómo se determina qué lado de una recta debe sombrearse?

Temas y conceptos clave

Representación gráfica de inecuacionesRectas continuas y punteadasRegiones soluciónComprobación mediante puntosInecuación linealRecta fronteraSemiplano soluciónRecta continuaRecta punteada

Fuentes y referencias

Recurso digital indicado en la página: lynk.ec/10m07

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Figuras de la página (3)

Plano cartesiano con una recta punteada y una región sombreada correspondiente a una inecuación con signo $<$. — Figura 2 image

Recuadro de competencia comunicacional sobre el uso de las inecuaciones en situaciones cotidianas. — Figura 3 image

Figura 4 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

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¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una inecuación?

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📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones lineales
• Despejar una variable
• Ubicar puntos en el plano cartesiano
• Evaluar expresiones algebraicas

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Sistemas de inecuaciones lineales y representación de regiones en el plano cartesiano

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Si la inecuación presenta los signos “2, <", se representa con una recta continua, Esto quiere decir que los puntos de la recta también son soluciones

de la inecuación.

Si la inecuación presenta los signos “>, <', se representa con una línea punteada. Esto quiere decir que los puntos de la recta no forman parte de

las soluciones de la inecuación.

Ejemplos a) Encontrar el conjunto solución de la inecuación: 2x-4y=8. Solución

Cambiamos el signo de la desigualdad por*="y graficamos. 7 2x-8 4

Como la inecuación tiene el símbolo >, representamos la recta con una línea continua para indicar que los puntos de la recta pertenecen a la solución.

Six=4, y = 0; (4, 0), sí pertenece a la recta Six=0, y = -2; (0, -2), sí pertenece Tomamos un punto sobre o bajo la recta. P (5, 2); 2x - 4y > 8 P (2, -3); 2x- 4y > 8 2(5) - 4(2) 28 2(2) - 4-3) > 8

2 >8, falso 16 > 8, verdadero No satisface la inecuación.

sombreada.

b) Hallar el conjunto solución de la inecuación: Zara y) <3y-5. Solución

2 x-8y Graficamos la recta con Encontramos la región 31 A 4 <3y-5 una linea punteada. solución, tomando los 9 a puntos: x-8y ge <3y-5 P (0, 1)

0+ 6(1) <-30 4x-3x+24y <3y=5 6 6 <- 30, falso x+24 y <18y -30 No satisface. x+6y <-30 P(1,-10) Cambio el signo de la ¡HA inecuación por"=": La solución de la 1-60 <-30 O Be led . Satisface la inecuación.

Satisface la inecuación, la solución es la parte

) Competencia . comunicacional

Las inecuaciones se aplican en la vida cotidiana, por ejemplo al ir de compras, controlar la velocidad de un auto o, simplemente, en la relación de nuestro peso con nuestra altura.

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continua, Línea que no tiene interrupciones.

región. Espacio limitado que cumple una determinada condición o circunstancia.

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