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Optimización de la ganancia en la fabricación de pantalones

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

La producción óptima es de $0$ pantalones Blue y $30$ pantalones Victoria. La ganancia máxima es de $\$ 450$.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 65

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución del ejemplo

Ejercicio 1

Definición de variables

$x$ : número de pantalones de marca Blue.
$y$ : número de pantalones de marca Victoria.

Ejercicio 2

Restricciones de tiempo

La máquina A dispone de 200 minutos y la máquina B de 90 minutos:

$15x+5y\leq 200$

$9x+3y\leq 90$

Además, la cantidad producida no puede ser negativa:

$x\geq 0,\qquad y\geq 0$

Por tanto, el sistema es:

$\begin{cases}15x+5y\leq 200\\9x+3y\leq 90\\x\geq 0\\y\geq 0\end{cases}$

Ejercicio 3

Función objetivo

La ganancia es de $30 por cada pantalón Blue y de$ 15 por cada pantalón Victoria. La función que se debe maximizar es:

$G(x,y)=30x+15y$

Ejercicio 4

Vértices de la región factible

Los vértices son:

$\left(0,0\right),\qquad \left(10,0\right),\qquad \left(0,30\right)$

Por ejemplo, sobre el eje $x$ , la restricción de la máquina B da $9x\leq 90$ , de donde $x=10$ . Sobre el eje $y$ , se obtiene $3y\leq 90$ , de donde $y=30$ .

Ejercicio 5

Evaluación de la función objetivo

En $\left(0,0\right)$ :

$G(0,0)=30(0)+15(0)=0$

En $\left(10,0\right)$ :

$G(10,0)=30(10)+15(0)=300$

En $\left(0,30\right)$ :

$G(0,30)=30(0)+15(30)=450$

La mayor ganancia es $450, que se obtiene en el punto $\left(0,30\right)$ . Por lo tanto, debe producir 0 pantalones Blue y 30 pantalones Victoria.

Nota: en la tabla impresa, la evaluación de $G(10,0)$ aparece como 30; el resultado correcto es 300.

Contenido de la página

Modelo matemático

El problema se representa mediante variables de decisión, restricciones de disponibilidad y una función objetivo que debe maximizarse. La región factible está formada por los puntos que cumplen simultáneamente todas las inecuaciones. Para hallar la ganancia máxima se evalúa la función objetivo en los vértices de dicha región.

Ejemplos resueltos

Un fabricante obtiene una ganancia de $30 por cada pantalón Blue y$ 15 por cada pantalón Victoria. La producción está limitada por dos máquinas. ¿Cuántos pantalones de cada tipo debe fabricar para obtener la mayor ganancia?

Se definen $x$ y $y$ como las cantidades de pantalones Blue y Victoria. El sistema de restricciones es $15x+5y\leq 200$ , $9x+3y\leq 90$ , $x\geq 0$ y $y\geq 0$ . La función objetivo es $G(x,y)=30x+15y$ . Al evaluar los vértices $\left(0,0\right)$ , $\left(10,0\right)$ y $\left(0,30\right)$ , se obtienen ganancias de $0,$ 300 y $450, respectivamente. La solución óptima es producir 30 pantalones Victoria y obtener una ganancia de$ 450.

Tabla

Producto	Máquina A (min)	Máquina B (min)	Ganancia
Blue ( $x$ )	15	9	$30
Victoria ( $y$ )	5	3	$15
Tiempo disponible	200	90	—

Fórmulas y ecuaciones

$G(x,y)=30x+15y$

$15x+5y\leq 200$

$9x+3y\leq 90$

$15x+5y\leq$ 200

$9x+3y\leq$ 90

$x\geq$ 0

$y\geq$ 0

G(x,y)=30x+15y

Glosario (5)

Variable de decisión: Cantidad desconocida que se debe determinar para tomar la mejor decisión.
Restricción: Condición o límite que debe cumplirse en un problema.
Función objetivo: Expresión matemática que se desea maximizar o minimizar.
Región factible: Conjunto de puntos que satisface todas las restricciones del problema.
Vértice: Punto extremo de una región poligonal; en programación lineal se evalúa para hallar el óptimo.

Temas y conceptos clave

Programación linealRestricciones de producciónRegión factibleMaximización de gananciasVariable de decisiónRestricciónFunción objetivoRegión factibleVérticesGanancia máxima

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Figuras de la página (4)

Ilustraciones que muestran una región factible acotada y otra no acotada. — Figura 2 image

Gráficas de las rectas asociadas al sistema de inecuaciones y de la región factible sombreada. — Figura 3 image

Figura 4 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 4 image

Figura 5 de Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025 — Figura 5 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se determina la región factible de un sistema de inecuaciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se maximiza una función lineal usando los vértices?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se plantea un problema de producción con restricciones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones lineales
• Representar rectas en el plano cartesiano
• Resolver inecuaciones lineales
• Evaluar funciones en puntos dados

Siguiente tema sugerido

Resolución gráfica de problemas de programación lineal con más de dos restricciones

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Ejemplo

Un fabricante de jeans obtiene una ganancia de $ 30 por cada jean de marca Blue y $ 15 por cada jean de marca Victoria. Para la fabricación de sus pantalones, utiliza dos máquinas: A y B. Para la fabricación del pantalón de marca Blue, la máquina A demora 15 minutos y la máquina B, 9 minutos. Para la elaboración del pantalón de marca Victoria, la máquina A demora 5 minutos y la máquina B, 3 minutos. Si diariamente cuenta con la máquina A un máximo de 200 minutos y con la B, un máximo de 90 minutos, ¿cuántos pantalones de cada tipo debe producir para obtener la máxima utilidad?

Identificamos las variables y organizamos en una tabla. Solución

Ganancia $30 $15

Pantalones marca Blue (x)

[Aa ls e A I

Pantalones marca Victoria Y

Tiempo disponible (min)

Archivo Editorial Como la producción de un artículo no puede ser negativa tenemos: y > 0, x > 0, Al referirse el problema a la máxima ganancia, significa menor o igual <. Entonces, 15x + 5y < 200; 9x + 3y < 90 Por lo tanto, el sistema de inecuaciones es:

15x+5y <200

9x+3y<90

y=0

x=0 Graficando las rectas, obtenemos: (Ilustración 1)

Sombreamos la solución de cada inecuación; recuerda que la solución del sistema es la intersección de las regiones sombreadas (región factible). (Ilustración 2)

Verificamos la solución tomando un punto de la intersección de las regiones sombreadas. P (0, 10)

15(0)+5(10)<200 50200 9(0)+3(10)s90 30<90 10=0 "1020

La solución satisface el sistema de inecuaciones.

A La función que representa la ganancia Vértice f(x, y) = 30x + 15y

máxima es f(x, y) = 30x + 15y. Para determinar la ganancia máxima, reemplazo los vértices en esta función.

_30(0) + a 560) = 0

300 0): + 15(0) =

La ganancia máxima es $ 450 y se produce cuando se fabrican 30 pantalones marca Victoria.

‘Archivo Editorial

|3x+y=40

La region factible puede ser:

Acotada