Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Respuesta rápida
Una recta divide un plano en dos semiplanos. Para 2x+y<6, la frontera es la recta punteada y=-2x+6, que pasa por (0,6) y (3,0); se sombrea el semiplano que contiene a P(-1,3).
Solución — Página 60
Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025
Reflexión
Una recta divide a un plano en dos semiplanos.
Procedimiento para resolver 2x+y<6
Se reemplaza temporalmente el signo de desigualdad por el signo igual: 2x+y=6
Se despeja y: y=-2x+6
Se determinan las intersecciones con los ejes:
- Si x=0, entonces y=6 y se obtiene el punto (0,6).
- Si y=0, entonces 2x=6, por lo que x=3 y se obtiene el punto (3,0).
Como la desigualdad es estricta, <, la recta frontera se dibuja con línea punteada. La recta no pertenece a la solución.
Se prueba un punto de cada región:
Punto P(4,2): 2(4)+2<6 10<6 Esta afirmación es falsa; por tanto, P(4,2) no pertenece a la región solución.
Punto P(-1,3): 2(-1)+3<6 1<6 Esta afirmación es verdadera; por tanto, P(-1,3) pertenece a la región solución.
Se sombrea el semiplano donde se encuentra P(-1,3). Por ello, la solución es la región ubicada por debajo de la recta y=-2x+6, sin incluir la frontera.
Reglas importantes
- Si la desigualdad contiene < o >, la frontera se dibuja con línea punteada.
- Si contiene \leq o \geq, la frontera se dibuja con línea continua.
- La gráfica de una inecuación lineal con dos incógnitas es un semiplano limitado por una recta.
- Para y\geq 0, la frontera es el eje x y se sombrea el semiplano superior.
- Para x>0, la frontera es el eje y y se sombrea el semiplano derecho.
Contenido de la página
Inecuación lineal con dos incógnitas
Es una desigualdad entre dos variables, generalmente x y y, que puede escribirse como ax+by+c<0, ax+by+c>0, ax+by+c\leq 0 o ax+by+c\geq 0.
Representación gráfica
La solución está formada por los pares ordenados (x,y) que satisfacen la desigualdad. Gráficamente, corresponde a uno de los dos semiplanos determinados por la recta frontera.
Ejemplo
Para 2x+y<6, la recta frontera es 2x+y=6, o equivalentemente y=-2x+6. Sus intersecciones son (0,6) y (3,0). Como el signo es <, la recta se dibuja punteada y se sombrea el semiplano que contiene los puntos que hacen verdadera la desigualdad.
Ejemplos resueltos
Representar gráficamente la inecuación 2x+y<6.
La recta frontera es 2x+y=6, es decir, y=-2x+6. Pasa por (0,6) y (3,0). Como el signo es <, se dibuja una línea punteada. Al probar P(-1,3) se obtiene 1<6, que es verdadero; por tanto, se sombrea el semiplano que contiene a ese punto.
Fórmulas y ecuaciones
Para 2x+y<6, la recta frontera es y=-2x+6.
Si x=0, el punto de intersección es (0,6).
Si y=0, el punto de intersección es (3,0).
ax+by+c<0
ax+by+c>0
ax+by+c\leq 0
ax+by+c\geq 0
2x+y<6
2x+y=6
y=-2x+6
Glosario (4)
- Inecuación
- Desigualdad matemática que relaciona expresiones mediante signos como $<$, $>$, $\leq$ o $\geq$.
- Recta frontera
- Recta obtenida al cambiar el signo de desigualdad por el signo igual.
- Semiplano
- Cada una de las dos regiones en que una recta divide al plano.
- Punto de prueba
- Punto que se reemplaza en la inecuación para identificar el semiplano solución.
Preguntas para practicar
¿Por qué la recta frontera se dibuja punteada cuando la desigualdad es estricta?
¿Cómo se identifica el semiplano solución usando un punto de prueba?
Temas y conceptos clave
Fuentes y referencias
- Enlace indicado en la página: lynk.ec/10m06
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se grafica una inecuación lineal con dos incógnitas?
¿Cuándo se usa una línea punteada o continua en una inecuación?
¿Cómo se determina qué semiplano se debe sombrear?
- • Ubicación de puntos en el plano cartesiano
- • Intersecciones de una recta con los ejes
- • Despeje de una variable en una ecuación lineal
- • Interpretación de los signos de desigualdad
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2315 caracteres
Tema 2
2 ¿Sabías que?
Una inecuación lineal con dos variables x,y es una desigualdad que tiene una de las siguientes formas:
ax+by+c<0, ax+by+c>0
ax+by+cs0, ax+by+c20
La solución de una inecuación lineal con dos variables es el conjunto de pares ordenados
(x, y) que satisfacen la igualdad, por lo tanto, corresponde a la región sombreada bajo o sobre la recta.
KN Competencia digital
Ingresa al siguiente enlace web: lynk.ec/10m06
Imprime la página y resuelve los ejercicios, verifica los procesos.
La frontera de la región es la recta continua 2x — 3y = 12, porque la desigualdad es >.
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Reflexiona. ¿En cuántos semiplanos divide una recta a un plano?
Una inecuación lineal, con dos incógnitas, consiste en una desigualdad entre dos
incógnitas de forma lineal.
Antonia quiere resolver la siguiente inecuación lineal 2x + y < 6.
Para resolver la inecuación lineal, procedemos de la siguiente manera:
- Cambiamos el signo de la desigualdad < “menor que” por el signo =.
2x+y=60y=-2x+ 6.
+» Graficamos la recta y = -2x + 6. Para ello, buscamos las intersecciones con los ejes
coordenados. Como la desigualdad tiene el signo <, representamos la recta con |
línea punteada para indicar que los puntos que forman la recta no pertenecen al
conjunto solución.
Six=0, y = 6, (0, 6) Siy=0, x=3, (3, 0)
y
Ay Mi Semiplano | | 4 superior | | Semiplano 6 | | inferior ‘ Frontera | P13) of | \ e od A) < iat
0 CE = \
\
Archivo Editorial
- Tomamos un punto sobre o bajo la recta y reemplazamos en la inecuación para determinar si satisface la inecuación.
P(4,2) 2x+y<6 2(4)+2<6 10<6
10 no es menor que 6.
El punto (4, 2) no satisface la
inecuación.
P(-1,3) 2x+y<6 2(-1)+3<6 1<6
El punto P(-1, 3) satisface la inecuación.
el punto,
Pintamos la región donde se encuentra
La gráfica de una inecuación lineal con dos variables, son semiplanos con una línea
recta como frontera. Ejemplos:
La frontera de la región es la recta punteada 2x — 3y = 6, porque la desigualdad es <.
La frontera de la región es la recta y = 0, es decir, el eje x.
La frontera de la región es la recta x = 0, es decir, el eje y.
M.4.1.40. Resolver de manera geométrica una inecuación lineal con dos incógnitas en el plano cartesiano sombreando la solución.
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