Leyes del álgebra proposicional

Contenido

Las leyes del álgebra proposicional son equivalencias lógicas que permiten transformar y simplificar fórmulas sin cambiar su valor de verdad.

Simbología

• \equiv: lógicamente equivalente a.
• \Leftrightarrow: equivale.
• \land: conjunción.
• \lor: disyunción.
• \sim: negación.
• V: verdadero.
• F: falso.

¿Cuándo son verdaderas la disyunción y la conjunción?

• La disyunción p\lor q es verdadera cuando al menos una de las proposiciones es verdadera. Solo es falsa cuando ambas son falsas.
• La conjunción p\land q es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas.

Leyes principales

1. Equivalencia: p\Leftrightarrow p.
2. Idempotencia: p\land p\Leftrightarrow p y p\lor p\Leftrightarrow p.
3. Asociativa: p\land q\land r\Leftrightarrow(p\land q)\land r\Leftrightarrow p\land(q\land r); de forma similar para la disyunción.
4. Conmutativa: p\land q\Leftrightarrow q\land p y p\lor q\Leftrightarrow q\lor p.
5. Distributiva: p\land(q\lor r)\Leftrightarrow(p\land q)\lor(p\land r) y p\lor(q\land r)\Leftrightarrow(p\lor q)\land(p\lor r).
6. Identidad: p\land V\Leftrightarrow p, p\lor F\Leftrightarrow p, p\land F\Leftrightarrow F y p\lor V\Leftrightarrow V.
7. Complemento: \sim(\sim p)\Leftrightarrow p, p\lor\sim p\Leftrightarrow V, p\land\sim p\Leftrightarrow F, \sim F\Leftrightarrow V y \sim V\Leftrightarrow F.
8. De Morgan: \sim(p\land q)\Leftrightarrow\sim p\lor\sim q y \sim(p\lor q)\Leftrightarrow\sim p\land\sim q.
9. Absorción: p\land(p\lor q)\Leftrightarrow p y p\lor(p\land q)\Leftrightarrow p.
10. Condicional simple: p\to q\Leftrightarrow\sim p\lor q y p\to q\Leftrightarrow\sim q\to\sim p.
11. Bicondicional: p\Leftrightarrow q\Leftrightarrow(p\to q)\land(q\to p).

Ejemplo resuelto

Simplificar:

\sim\{(\sim p)\lor(\sim q)\lor\sim q\}

1. Aplicamos la ley asociativa:

\sim\{\sim p\lor(\sim q\lor\sim q)\}

2. Aplicamos la ley de idempotencia, porque \sim q\lor\sim q\Leftrightarrow\sim q:

\sim(\sim p\lor\sim q)

3. Aplicamos la ley de Morgan:

\sim(\sim p)\land\sim(\sim q)

4. Aplicamos la ley de complemento o doble negación:

p\land q

Por tanto, la proposición simplificada es p\land q.

Interculturalidad

La etnomatemática estudia los conocimientos y las formas de usar la matemática que se desarrollan en diferentes culturas. Es importante porque reconoce la diversidad cultural, fortalece la identidad y muestra que existen distintas maneras de resolver problemas y comprender el mundo.