Leyes y proposiciones lógicas

Resolución

Se aplican las leyes de la lógica proposicional y los datos proporcionados en cada enunciado.

• a) Un condicional p \rightarrow q es equivalente a \sim p \lor q. Por tanto, es verdadera.
• b) La afirmación describe la ley de idempotencia, no la ley de identidad. Es falsa.
• c) La conjunción de una proposición falsa con cualquier proposición siempre es falsa. Es verdadera.
• d) La doble negación de una proposición produce la proposición original: \sim(\sim p) \equiv p. Es falsa.
• e) Si pagaron, el antecedente es verdadero; como no fueron a la playa, el consecuente es falso. Entonces V \rightarrow F es falso.
• f) Si hoy es sábado, mañana es domingo. La afirmación es verdadera.
• g) -1 es entero y menor que cero, pero no todos los números enteros son menores que cero. Entonces V \rightarrow F es falso.

Las principales leyes que pueden colocarse alrededor de “Leyes de las proposiciones” son:

1. Ley de identidad: p \land V \equiv p y p \lor F \equiv p.
2. Ley de negación o complemento: p \land \sim p \equiv F y p \lor \sim p \equiv V.
3. Ley de idempotencia: p \land p \equiv p y p \lor p \equiv p.
4. Ley de doble negación: \sim(\sim p) \equiv p.
5. Leyes de De Morgan: \sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q y \sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q.

Sean p: “Jugué fútbol” y q: “Anoté varios goles”.

• a) \sim p \land \sim q: No jugué fútbol y no anoté varios goles.
• b) \sim(p \land q): No es cierto que jugué fútbol y anoté varios goles.
• c) p \land \sim q: Jugué fútbol y no anoté varios goles.
• d) \sim p \land q: No jugué fútbol y anoté varios goles.
• e) p \rightarrow q: Si jugué fútbol, entonces anoté varios goles.
• f) \sim p \rightarrow \sim q: Si no jugué fútbol, entonces no anoté varios goles.
• g) q \leftrightarrow p: Anoté varios goles si y solo si jugué fútbol.

Se aplican las reglas \sim(\sim p) \equiv p, \sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q y \sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q.

• a) Rojo es un color primario.
• b) Fernando no es diseñador o Fernando no es pintor.
• c) Pitágoras no fue un reconocido filósofo.
• d) Mi estatura no es 1{,}50 y no es 1{,}60.

La proposición es \sim(p \rightarrow q). Como p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q, entonces:

\sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q

Por lo tanto, la expresión equivalente es: “Usted ve un gato negro y no tiene mala suerte”. Corresponde a la opción d).

La proposición “Si amo las matemáticas, pasaré este curso” se representa como p \rightarrow q. Su equivalencia es:

p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q

Por lo tanto: “Pasaré este curso o no amo las matemáticas”. Corresponde a la opción b).

Sean p: “Hace frío” y q: “Estamos en invierno”.

• a) Hace frío y no estamos en invierno: p \land \sim q, corresponde al número 4.
• b) Si no hace frío, entonces estamos en invierno: \sim p \rightarrow q, corresponde al número 7.
• c) Estamos en invierno si y solo si no hace frío: q \leftrightarrow \sim p, corresponde al número 6.
• d) Hace frío y estamos en invierno: p \land q, corresponde al número 3.
• e) Hace frío o estamos en invierno: p \lor q, corresponde al número 2.
• f) No hace frío: \sim p, corresponde al número 1.
• g) No es cierto que no hace frío: \sim(\sim p), corresponde al número 5.