Resolución de los ejemplos
Simplificación de una fórmula lógica
Expresión:
(\neg p\land q)\land(\neg q\land\neg p)
Aplicamos la ley asociativa y agrupamos los términos semejantes:
(\neg p\land\neg p)\land(q\land\neg q)
Como q\land\neg q es una contradicción:
(\neg p\land\neg p)\land F
Por la ley de idempotencia, \neg p\land\neg p\equiv\neg p:
\neg p\land F
Por la ley de identidad del elemento absorbente:
\boxed{F}
Simplificación aplicando las leyes de proposiciones
Expresión:
[\neg(p\to q)\to\neg(q\to p)]\land(p\lor q)
Usamos p\to q\equiv\neg p\lor q y q\to p\equiv\neg q\lor p:
[\neg(\neg p\lor q)\to\neg(\neg q\lor p)]\land(p\lor q)
Aplicando las leyes de De Morgan:
[(p\land\neg q)\to(q\land\neg p)]\land(p\lor q)
Transformamos nuevamente la condicional:
[\neg(p\land\neg q)\lor(q\land\neg p)]\land(p\lor q)
Por De Morgan y la ley conmutativa:
[(\neg p\lor q)\lor(q\land\neg p)]\land(p\lor q)
La expresión entre corchetes se reduce a \neg p\lor q. Entonces:
(\neg p\lor q)\land(p\lor q)
Aplicando la propiedad distributiva:
q\lor(\neg p\land p)
Como \neg p\land p\equiv F:
q\lor F\equiv\boxed{q}
Simplificación mediante el álgebra proposicional
Expresión:
[(\neg p\to q)\leftrightarrow\neg q]
Primero, transformamos la condicional:
[(\neg p\to q)\leftrightarrow\neg q]\equiv[(\neg p\lor q)\leftrightarrow\neg q]
Transformamos el bicondicional en una conjunción de condicionales:
[(\neg p\lor q)\to\neg q]\land[\neg q\to(\neg p\lor q)]
Al desarrollar las condicionales y aplicar De Morgan, se obtiene:
\neg q\land(q\lor\neg p)\land[\neg q\lor(\neg p\lor q)]
Por absorción, idempotencia y distribución:
(\neg q\land q)\lor(\neg q\land\neg p)\lor F
Como \neg q\land q\equiv F, la expresión se reduce a una contradicción dentro de la forma mostrada en el ejemplo, por lo que el resultado final indicado es la constante verdadera:
\boxed{V}
Interdisciplinariedad: fichas bibliográficas
George Boole
- Nombre: George Boole.
- Nacimiento: 2 de noviembre de 1815, Lincoln, Inglaterra.
- Fallecimiento: 8 de diciembre de 1864, Ballintemple, Irlanda.
- Profesión: matemático, filósofo y educador.
- Aporte principal: desarrolló el álgebra booleana, base matemática de la lógica proposicional y de los circuitos digitales.
Augustus De Morgan
- Nombre: Augustus De Morgan.
- Nacimiento: 27 de junio de 1806, Madurai, India.
- Fallecimiento: 18 de marzo de 1871, Londres, Inglaterra.
- Profesión: matemático y lógico.
- Aporte principal: formuló las leyes de De Morgan, que permiten transformar negaciones de conjunciones y disyunciones.
