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Estrategia: dividir el problema en partes

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Problema 1: producir $2.5$ unidades de rosas y $0$ unidades de margaritas; ganancia máxima: $ $16\,250$ .
Problema 2: enviar $200$ claveles de la bodega A y $800$ de la bodega B; costo mínimo: $ $420\,000$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 80

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

maximizar la ganancia

Ejercicio 1

Variables

$x$ : número de producciones de rosas.
$y$ : número de producciones de margaritas.

Ejercicio 2

Restricciones

El proceso de corte dispone de ocho horas: $2x+3y\le 8$

El proceso de empaquetado dispone de diez horas: $4x+5y\le 10$

Además, las cantidades no pueden ser negativas: $x\ge 0,\qquad y\ge 0$

Ejercicio 3

Función objetivo

La ganancia que se desea maximizar es: $f(x,y)=6500x+3400y$

Ejercicio 4

Vértices de la región factible

Los vértices son:

$(0,0)$ .
$(2.5,0)$ , obtenido de $4x=10$ .
$(0,2)$ , obtenido de $5y=10$ .

Al evaluar la función: $f(0,0)=6500(0)+3400(0)=0$ $f(2.5,0)=6500(2.5)+3400(0)=16250$ $f(0,2)=6500(0)+3400(2)=6800$

La mayor ganancia es $\@@MATH_3@@ y se obtiene produciendo únicamente rosas:$ x=2.5 $y$ y=0$.

Ejercicio 2

minimizar el costo

Ejercicio 1

Variables

$x$ : número de claveles enviados desde la bodega A.
$y$ : número de claveles enviados desde la bodega B.

Ejercicio 2

Restricciones

Se deben enviar al menos $1000$ claveles: $x+y\ge 1000$

La bodega A dispone de hasta $600$ claveles y la bodega B de hasta $800$ : $x\le 600,\qquad y\le 800$

Además: $x\ge 0,\qquad y\ge 0$

Ejercicio 3

Función objetivo

El costo total de envío es: $f(x,y)=500x+400y$

Ejercicio 4

Vértices relevantes

Para enviar exactamente $1000$ claveles, se consideran los puntos:

$(200,800)$ , porque $200+800=1000$ .
$(600,400)$ , porque $600+400=1000$ .

Evaluamos la función: $f(200,800)=500(200)+400(800)=100000+320000=420000$ $f(600,400)=500(600)+400(400)=300000+160000=460000$

Por lo tanto, el costo mínimo es $\@@MATH_2@@, enviando$ 200 $claveles desde la bodega A y$ 800 $desde la bodega B. La expresión impresa$ P(200;600) $no cumple la condición de enviar al menos$ 1000 $claveles; debe corregirse a$ P(200;800)$.

Contenido de la página

Estrategia de solución

Para resolver problemas de optimización se divide el problema en partes:

Comprender la pregunta.
Definir las variables.
Organizar los datos en una tabla.
Plantear el sistema de inecuaciones.
Escribir la función objetivo.
Identificar los vértices de la región factible.
Evaluar la función objetivo en cada vértice.
Elegir el valor máximo o mínimo, según el problema.

La página aplica esta estrategia a un problema de producción de rosas y margaritas, y a un problema de envío de claveles desde dos bodegas.

Ejemplos resueltos

Una florícola produce rosas y margaritas. Cada producción de rosas usa $2$ horas de corte y $4$ de empaquetado, mientras que cada producción de margaritas usa $3$ y $5$ horas, respectivamente. Hay disponibles $8$ horas de corte y $10$ de empaquetado. Las ganancias son $\$ 6500 $por rosas y$ $3400$ por margaritas. ¿Qué combinación maximiza la ganancia?

Definimos $x$ como las producciones de rosas y $y$ como las producciones de margaritas. El sistema es $2x+3y\le8$ , $4x+5y\le10$ , $x\ge0$ y $y\ge0$ . La función objetivo es $f(x,y)=6500x+3400y$ . Al evaluar los vértices $(0,0)$ , $(2.5,0)$ y $(0,2)$ , la mayor ganancia es $f(2.5,0)= $16\,250$ . Por tanto, se producen únicamente rosas.

Se deben enviar al menos $1000$ claveles desde dos bodegas. La bodega A tiene $600$ claveles y cuesta $\$ 500 $enviar cada uno; la bodega B tiene$ 800 $y cuesta$ $400$ enviar cada uno. ¿Cómo se minimiza el costo?

Definimos $x$ y $y$ como los claveles enviados desde A y B. Las restricciones son $x+y\ge1000$ , $x\le600$ , $y\le800$ , $x\ge0$ y $y\ge0$ . Como B tiene menor costo, conviene enviar todos sus $800$ claveles y completar los $1000$ con $200$ de A. El costo es $500(200)+400(800)= $420\,000$ .

Tablas (2)

Producto	Corte	Empaquetado	Ganancia
Rosas ( $x$ )	2	4	$\$ 6500$
Margaritas ( $y$ )	3	5	$\$ 3400$
Horas máximas	8	10	—

Bodega	Claveles disponibles	Costo unitario
A ( $x$ )	600	$\$ 500$
B ( $y$ )	800	$\$ 400$

Fórmulas y ecuaciones

Ganancia: $f(x,y)=6500x+3400y$

Costo de envío: $f(x,y)=500x+400y$

$2x+3y\le$ 8

$4x+5y\le$ 10

f(x,y)=6500x+3400y

$x+y\ge$ 1000

$x\le$ 600

$y\le$ 800

f(x,y)=500x+400y

Glosario (5)

Variable de decisión: Cantidad desconocida que se debe determinar para resolver el problema.
Restricción: Condición o límite que deben cumplir las variables.
Función objetivo: Expresión matemática que se desea maximizar o minimizar.
Región factible: Conjunto de puntos que cumple todas las restricciones.
Vértice: Punto extremo de una región factible.

Temas y conceptos clave

Estrategia de dividir el problema en partesProgramación linealMaximización de gananciasMinimización de costosVariables de decisiónRestriccionesFunción objetivoRegión factibleVérticesMáximoMínimo

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📌 Antes de leer esto

• Resolver ecuaciones lineales
• Interpretar desigualdades
• Ubicar puntos en el plano cartesiano
• Evaluar funciones

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Competencia matemática

MIA Estrategia: dividir el problema en partes ESE!

Problema resuelto

Una florícola realiza dos procesos: el de corte y el de empaquetado. Para la producción de rosas se necesitan dos horas en el proceso de corte y cuatro horas en el proceso de empaquetado. Para la producción de margaritas se necesitan tres horas para el corte y cinco horas para el empaquetado. Para el proceso de corte pueden utilizarse hasta ocho horas, y para el empaquetado, hasta diez horas. Si cada producción de rosas deja una ganancia de $ 6 500 y cada producción de margaritas deja una ganancia de $ 3 400, ¿con qué flores se obtiene la mayor producción?

Comprender el problema ¿Cuál es la pregunta del problema? ¿Cuántas producciones de cada flor deben hacer- se para obtener la mayor ganancia?
Plantear la estrategia ¿Cuál es la estrategia de solución? La estrategia que se utiizará es dividir el problema en partes.
Aplicar la estrategia ¿Cómo se aplica la estrategia?

Paso 1

Determina las variables del problema y organiza los datos en una tabla.

Problema resuelto

Una florícola exporta claveles y debe enviar al menos 1 000 a Europa. La empresa tiene dos bodegas, A y B. En la bodega A hay 600 flores y en la B hay 800. Enviar flores de la bodega A cuesta $500, y enviarlas de la bodega B,$ 400, ¿Cuántas flores deben enviarse de cada bodega para minimizar el costo?

Comprender el problema ¿Cuál es la pregunta del problema? ¿Cuántas flores deben enviarse a cada bodega para minimizar el costo?
Plantear la estrategia ¿Cuál es la estrategia de solución? La estrategia que se utiizará es dividir el problema en partes.
Aplicar la estrategia ¿Cómo se aplica la estrategia? Paso1

Determina las variables del problema y organiza los datos en una tabla.

Claveles | Costo de envío

Bodega A (x)

600 500 Bodega B (y) 800 400 Paso2

Proceso | ; Ma chite Empaquetado | Ganancia Rosas (x) Margaritas (y) 3 5 3 400

max. horas 8 10

Paso 2 Determina el sistema de _| Identifica los vértices y inecuaciones y resuélvelo, | reemplaza en la función. 2x+3y s8 4x+5y 10 f(x) = 6 500x + 3 400y x20 y=0