Daniela compra un auto y una moto por \15500 y los vende por \20850. En el auto gana 15% y en la moto 10%. Determina el precio de compra de cada vehículo.

No existe una solución válida con los datos dados

Modela las restricciones para transportar picudos y pargos en una camioneta de capacidad máxima de 2 toneladas y con un valor de mercancía que no supere \8000$.

x+y≤q2000, 5x+3y≤q8000, x≥q0, y≥q0

Libro de Matemática 10 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Problemas propuestos

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$c=1,0825x$ ; para $x=1200$ , $c=\$ 1299$.
Los datos son inconsistentes: el sistema produce $x=76000$ y $y=-60500$ , por lo que no existen precios válidos.
Deben venderse al menos $501$ calentadores.
$\left(p\land\neg q\right)\rightarrow\neg r$ .
Sí; cuestan $\$ 26 $y son$ 24$ animales.
$x+y\leq2000$ , $5x+3y\leq8000$ , $x,y\geq0$ .
Luis tiene $2$ hijos.
Máximo aproximado: $105,88$ kg de tipo I; en cantidades enteras, $105$ kg.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 12 min lectura

Solución — Página 81

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución de los problemas

Ejercicio 1

Impuesto de venta

Sea $x$ el precio del artículo y $c$ el costo total. El impuesto corresponde al $8,25\%$ de $x$ :

$c=x+0,0825x$

Por tanto:

$c=1,0825x$

Para $x=1200$ :

$c=1,0825(1200)=1299$

El precio final es de $\$ 1299$.

Ejercicio 2

Precio de compra del auto y la moto

Sea $x$ el precio de compra del auto y $y$ el precio de compra de la moto. Entonces:

$x+y=15500$

Como el auto se vendió con una ganancia del $15\%$ y la moto con una ganancia del $10\%$ :

$1,15x+1,10y=20850$

De la primera ecuación, $y=15500-x$ . Sustituyendo:

$1,15x+1,10(15500-x)=20850$ $1,15x+17050-1,10x=20850$ $0,05x=3800$ $x=76000$

Entonces:

$y=15500-76000=-60500$

El resultado para la moto es negativo, lo cual no representa un precio posible. Por tanto, los datos del problema son inconsistentes: con una inversión total de $\$ 15500 $y ganancias máximas del$ 15% $, la venta no podría superar$ $17825$ .

Ejercicio 3

Venta de calentadores

Sea $x$ el número de calentadores vendidos. El ingreso total es $35x$ y el costo total es $21x+7000$ . Para obtener utilidad:

$35x-(21x+7000)>0$ $14x-7000>0$ $14x>7000$ $x>500$

Como se venden unidades completas, se deben vender al menos $501$ calentadores.

Ejercicio 4

Proposición lógica

La proposición dice: “Si Rolando es primo de Paula y Diego no es hermano de Rolando, entonces Diego no es primo de Paula”.

Usando las variables dadas, su estructura es:

$\left(p\land\neg q\right)\rightarrow\neg r$

Es una implicación cuyo antecedente es una conjunción y cuyo consecuente es la negación de $r$ .

Ejercicio 5

Compra de pollos y patos

El costo de $20$ pollitos y $4$ patitos es:

$20(1)+4(1,50)=20+6=26$

La cantidad de animales es:

$20+4=24$

Como $26\leq30$ y $24\geq16$ , Rosa sí puede realizar la compra.

Ejercicio 6

Transporte de pescado

Sea $x$ la cantidad de kilogramos de picudos y $y$ la cantidad de kilogramos de pargos. La capacidad de la camioneta es de $2$ toneladas, es decir, $2000$ kg:

$x+y\leq2000$

El valor de la mercancía debe ser como máximo $\$ 8000$:

$5x+3y\leq8000$

Además:

$x\geq0,\qquad y\geq0$

La región posible está en el primer cuadrante y debajo de las rectas $x+y=2000$ y $5x+3y=8000$ . Los vértices principales de la región factible son:

$\left(0,0\right),\quad\left(1600,0\right),\quad\left(1000,1000\right),\quad\left(0,2000\right)$

La combinación $(1000,1000)$ se obtiene al resolver simultáneamente $x+y=2000$ y $5x+3y=8000$ .

Ejercicio 7

Entradas para el espectáculo

Sea $n$ el número de hijos. Como Luis también necesita una entrada, se compran $n+1$ entradas.

Con entradas de $\$ 4$:

$4(n+1)\leq14$ $n+1\leq3,5$ $n\leq2,5$

Por tanto, $n\leq2$ .

Con entradas de $\$ 5$ el dinero no alcanza:

$5(n+1)>14$ $n+1>2,8$ $n>1,8$

Como $n$ es un número entero, $n\geq2$ . Por consiguiente, Luis tiene exactamente $2$ hijos.

Ejercicio 8

Compra de balanceado

Sea $x$ la cantidad de kilogramos de balanceado tipo I y $y$ la cantidad de kilogramos de tipo II. Como necesita el triple de tipo I que de tipo II:

$x=3y$

El presupuesto establece:

$0,25x+0,10y\leq30$

Sustituyendo $x=3y$ :

$0,25(3y)+0,10y\leq30$ $0,75y+0,10y\leq30$ $0,85y\leq30$ $y\leq35,2941$

Entonces:

$x=3y\leq3(35,2941)=105,8823$

Puede adquirir como máximo aproximadamente $105,88$ kg de balanceado tipo I y $35,29$ kg de tipo II. Si se consideran únicamente kilogramos enteros, puede comprar $105$ kg de tipo I y $35$ kg de tipo II.

Contenido de la página

Problemas propuestos

La página reúne situaciones que se modelan con ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades y proposiciones lógicas. Para resolverlas se deben identificar las incógnitas, traducir las condiciones del problema a lenguaje matemático, efectuar los cálculos y verificar que las respuestas tengan sentido en el contexto.

Tabla

Problema	Modelo principal	Resultado
1	Porcentaje	$\$ 1299$
3	Inecuación de utilidad	$501$ calentadores
6	Sistema de desigualdades	Región factible
7	Inecuaciones	$2$ hijos
8	Presupuesto y proporción	$105,88$ kg de tipo I

Fórmulas y ecuaciones

$\text{costo total}=\text{precio} + \text{impuesto}$

$\text{utilidad}=\text{ingreso total}-\text{costo total}$

$\text{ganancia porcentual}=\text{precio de venta}-\text{precio de compra}$

$c=1,0825x$

$x+y=15500$

$1,15x+1,10y=20850$

$35x-(21x+7000)>0$

$\left(p\land\neg q\right)\rightarrow\neg r$

$x+y\leq2000$

$5x+3y\leq8000$

$x=3y$

Glosario (5)

Costo total: Cantidad total pagada por un producto, incluido el impuesto correspondiente.
Utilidad: Diferencia positiva entre el ingreso total y el costo total.
Proposición: Enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez.
Implicación: Conector lógico que relaciona un antecedente con un consecuente y se expresa como “si..., entonces...”.
Región factible: Conjunto de puntos que satisface simultáneamente todas las restricciones de un problema.

Preguntas para practicar

¿Por qué es necesario verificar si la solución de un sistema tiene sentido en el contexto?

¿Cómo se obtiene la región factible al graficar varias desigualdades?

¿Qué diferencia existe entre una ecuación y una desigualdad?

Temas y conceptos clave

Porcentajes e impuestosSistemas de ecuacionesUtilidad y punto de equilibrioLógica proposicionalDesigualdadesRestricciones y región factibleCosto totalGanancia porcentualIngreso y costoImplicación lógicaConjunción y negaciónInecuación linealRegión factible

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Figuras de la página (1)

Imagen de un saco de balanceado relacionada con el problema 8. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se plantea una desigualdad a partir de un problema?

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¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones con dos incógnitas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se representa una restricción matemática en un gráfico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números decimales
• Cálculo de porcentajes
• Resolución de ecuaciones lineales
• Interpretación de desigualdades
• Conectores lógicos básicos

Siguiente tema sugerido

Sistemas de inecuaciones lineales y representación gráfica de regiones factibles

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Problemas propuestos

Un vendedor necesita calcular el costo de un ar- ticulo, cuyo impuesto de venta es de 8,25 %. Es- cribe una ecuación que represente el costo total cde un artículo que cuesta x dólares. Si el artículo cuesta 1 200 USD, calcula el precio final.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

e) Aplicar la estrategia. d) Responder

Daniela compra un auto y una moto por $15 500. Luego de arreglarlos, los vende por$ 20 850. ¿Cuál fue el precio de compra de cada vehí- culo si en la venta del coche ganó 15 % y en la de la moto 10 %?

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

c) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Para una fábrica de calentadores, el costo es de $21 por calentador más$ 7 000 en gastos ge- nerales. Si el precio de venta es de $ 35, ¿cuán- tos calentadores se deben vender para obtener utilidad? Recuerda que para que haya utilidad Ingreso total - costo total > 0.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

c) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Dadas las siguientes variables proposicionales:

p: Rolando es primo de Paula
q; Diego es hermano de Rolando

+r: Diego es primo de Paula

Determina la estructura lógica de la siguiente proposición compuesta: Si Rolando es primo de Paula y Diego no es hermano de Rolando, enton- ces Diego no es primo de Paula.

a) Comprender el problema.

b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Rosa decide criar pollos y patos en el patio de su casa. Ella tiene $ 30 y desea comprar al menos 16 animalitos pequeños. Cada pollito cuesta $ 1 y cada patito $ 1,50. ¿Podría Rosa comprar 20 polli- tos y 4 patitos? Justifica tu respuesta.

Una camioneta con una capacidad máxima de carga de 2 t es utilizada para transportar picudos y pargos, con precios de $5 y$ 3 el kilo respec- tivamente. En cada viaje, el valor de la mercancía no debe sobrepasar los $ 8 000. Describe estas restricciones matemáticamente y confecciona un gráfico para mostrar las posibles combinaciones de pescado a transportar.

2000

1500:

500:

0 500 1000 1500°x

Luis va a ver un espectáculo artístico con sus hi- jos, pero solo tiene 14 dólares. Si compra entradas de 4 dólares el dinero le alcanza, pero si compra entradas de 5 dólares, no. ¿Cuántos hijos tiene

Luis?

Un ganadero tiene un presupues-

to de $ 30 para comprar dos tipos

de balanceado. El balanceado tipo

| cuesta $ 0,25 por kilo y el tipo Il,

$ 0,10 por kilo. ¿Cuántos kilos del

balanceado tipo | puede adquirir conociendo que necesita el triple del balanceado tipo Il para ela- borar la receta del alimento para sus animales?

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