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Producto cartesiano

📄 teoria Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Respuesta: Un par ordenado es una pareja $(a,b)$ en la que importa la posición de cada elemento. El producto cartesiano del ejemplo tiene $6$ pares ordenados.

📚 theory Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 96

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

¿Qué es un par ordenado?

Un par ordenado es una pareja de elementos escrita como $(a,b)$ , en la que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto. El orden es importante: generalmente $(a,b)\ne(b,a)$ .

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ , el producto cartesiano de $A$ por $B$ se escribe $A\times B$ y está formado por todos los pares ordenados $(a,b)$ , donde $a\in A$ y $b\in B$ :

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\text{ y }b\in B\}$

Ejemplo de la página

Sean:

$A=\{\text{Martina},\text{Camilo}\}$

$B=\{\text{rojo},\text{lila},\text{rosado}\}$

Se combinan cada elemento de $A$ con todos los elementos de $B$ :

$A\times B=\{(\text{Martina},\text{rojo}),(\text{Martina},\text{lila}),(\text{Martina},\text{rosado}),(\text{Camilo},\text{rojo}),(\text{Camilo},\text{lila}),(\text{Camilo},\text{rosado})\}$

Como $A$ tiene $2$ elementos y $B$ tiene $3$ elementos, el producto cartesiano contiene:

$n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)=2\cdot3=6$

Representaciones

El producto cartesiano puede representarse mediante:

Diagrama sagital o de Venn: se dibujan los conjuntos y flechas entre los elementos relacionados.
Diagrama cartesiano: cada par ordenado se ubica como un punto en el plano coordenado.

En el ejemplo numérico de la página, las relaciones representadas son $(2,2)$ , $(4,5)$ y $(5,2)$ .

Contenido de la página

Definición

El producto cartesiano es una operación entre dos conjuntos. Si $A$ y $B$ son conjuntos no vacíos, entonces $A\times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados $(a,b)$ , con $a\in A$ y $b\in B$ .

Relación binaria

Una relación binaria relaciona elementos de un conjunto $A$ con elementos de un conjunto $B$ según un criterio. Es un subconjunto del producto cartesiano $A\times B$ .

Ejemplo

Si $A=\{\text{Martina},\text{Camilo}\}$ y $B=\{\text{rojo},\text{lila},\text{rosado}\}$ , entonces $A\times B$ contiene las seis combinaciones posibles entre personas y colores.

Aplicación

El producto cartesiano puede utilizarse en una empresa de transporte para asignar códigos a los camiones usando combinaciones del nombre del chofer y la ruta.

Ejemplos resueltos

Sean $A=\{\text{Martina},\text{Camilo}\}$ y $B=\{\text{rojo},\text{lila},\text{rosado}\}$ . Determina $A\times B$ .

Se combina cada elemento de $A$ con cada elemento de $B$ :

$A\times B=\{(\text{Martina},\text{rojo}),(\text{Martina},\text{lila}),(\text{Martina},\text{rosado}),(\text{Camilo},\text{rojo}),(\text{Camilo},\text{lila}),(\text{Camilo},\text{rosado})\}$

Hay $2\cdot3=6$ pares ordenados.

Fórmulas y ecuaciones

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}$

$n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\text{ y }b\in B\}$

$n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$

Glosario (4)

Par ordenado: Pareja de elementos escrita como $(a,b)$, donde la posición de cada elemento tiene importancia.
Producto cartesiano: Conjunto de todos los pares ordenados formados con un elemento de $A$ y uno de $B$.
Relación binaria: Correspondencia entre elementos de dos conjuntos, definida mediante un criterio.
Diagrama sagital: Representación de relaciones mediante conjuntos y flechas.

Preguntas para practicar

¿Por qué $(a,b)$ y $(b,a)$ no representan necesariamente el mismo par ordenado?

Temas y conceptos clave

Producto cartesianoPares ordenadosRelaciones binariasDiagramas de representaciónEl orden de los elementos de un par ordenado es importanteEl primer elemento pertenece al conjunto $A$El segundo elemento pertenece al conjunto $B$El producto cartesiano reúne todas las combinaciones posiblesUn producto cartesiano puede representarse con diagramas

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (3)

Diagrama sagital que relaciona a Martina y Camilo con los colores rojo, lila y rosado. — Figura 2 image

Diagrama cartesiano con los puntos $(2,2)$, $(4,5)$ y $(5,2)$. — Figura 3 image

Diagrama sagital que muestra relaciones entre los conjuntos $M$ y $N$. — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el producto cartesiano de dos conjuntos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se forman los pares ordenados?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se representa un producto cartesiano en un diagrama sagital?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer conjuntos y sus elementos
• Comprender la pertenencia a un conjunto
• Leer coordenadas en el plano cartesiano

Siguiente tema sugerido

Relaciones binarias y sus propiedades

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Tema 1 Producto cartesiano

CO) Saberes previos

¿Qué es para ti un par ordenado?

Definición. El producto cartesiano es una operación entre dos conjuntos. Sean AyBdos conjuntos no vacíos, se define el producto cartesiano de A por By se in- dica A x Bal conjunto de pares ordenados (a, b), donde a pertenece al conjunto Ay b pertenece al conjunto B.

Veamos el siguiente ejemplo: Martina y Camilo tienen como favoritos los siguien- tes colores: rojo, lila y rosado. ¿Cómo relacionamos a Martina y Camilo con sus colores favoritos?

Shutterstock, 743088820

Expansión de colores Se puede relacionar de la siguiente manera:

El conjunto A es el de Martina y Camilo: A = (Martina, Camilo} El conjunto B son los colores: B = {rojo, lila, rosado)

Entonces realizamos el producto cartesiano A X B:

@ ¿Sabías que? A X B= ((Martina, rojo); (Martina, lila); (Martina, rosado);

La relación binaria es (Camilo, rojo); (Camilo, lila); (Camilo, rosado) una correspondencia

de los elementos

de un conjunto A Representación en un diagrama sagital

con los elementos de un conjunto

B, que relacionan dichos elementos respectivamente con un criterio dado.

Res una relación de A enBsiREA XB.

El producto cartesiano se puede presentar de diferentes maneras, por ejemplo:

Diagrama cartesiano Diagrama sagital o diagramas de Venn

Í Competencia matemática y N

Se puede utilizar el L (45)

producto cartesiano a 1 cuando en una empresa 4T H

de transporte se le 8 ay

asigna un código a los : a+ ¡E camiones de acuerdo E 1

con nombre del chofer E s ,

y la ruta. 5 6 xX

M.4.1.42. Calcular el producto cartesiano entre dos conjuntos para definir relaciones binarias (subconjuntos), representándolas con pares ordenados. M.4.1.43. Identificar relaciones reflexivas, simétricas, transitivas y de equivalencia sobre un subconjunto del producto cartesiano.

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