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Relaciones binarias: reflexiva, simétrica y transitiva

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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La divisibilidad en $M$ es reflexiva; la relación de hermandad en $Q$ es simétrica; y la relación “ser mayor que” en $S$ es transitiva.

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 97

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

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Una relación binaria relaciona elementos de un conjunto consigo mismo o con elementos de otro conjunto. Las principales propiedades estudiadas son:

Reflexiva: todo elemento se relaciona consigo mismo. Para todo $x\in A$ , se cumple $xRx$ .
Simétrica: si $x$ se relaciona con $y$ , entonces $y$ se relaciona con $x$ . Se expresa como $xRy\Rightarrow yRx$ .
Transitiva: si $x$ se relaciona con $y$ y $y$ se relaciona con $z$ , entonces $x$ se relaciona con $z$ . Se expresa como $(xRy\land yRz)\Rightarrow xRz$ .

Ejemplo 1: relación de divisibilidad

Sea $M=\{1,2,4,8\}$ y la relación definida por “ $x$ divide a $y$ ”. Se escriben todos los pares $(x,y)$ en los que $x$ divide exactamente a $y$ :

$1$ divide a $1$ , $2$ , $4$ y $8$ .
$2$ divide a $2$ , $4$ y $8$ .
$4$ divide a $4$ y $8$ .
$8$ divide a $8$ .

Por tanto,

$R=\{(1,1),(1,2),(1,4),(1,8),(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),(4,8),(8,8)\}.$

Como aparecen $(1,1)$ , $(2,2)$ , $(4,4)$ y $(8,8)$ , cada elemento está relacionado consigo mismo. Por ello, la relación cumple la propiedad reflexiva.

Ejemplo 2: relación de hermandad

Sea $Q=\{\text{Teresa},\text{Martha},\text{Ana}\}$ y la relación “ $x$ es hermana de $y$ ”. Al ser hermanas entre sí, cada relación aparece también en sentido inverso:

$R=\{(T,M),(M,T),(T,A),(A,T),(M,A),(A,M)\}.$

Por ejemplo, si Teresa es hermana de Martha, Martha también es hermana de Teresa. Por ello, la relación cumple la propiedad simétrica.

Ejemplo 3: relación “es mayor que”

Sea $S=\{5,6,7,8\}$ y la relación “ $x$ es mayor que $y$ ”. Los pares son:

$R=\{(6,5),(7,5),(7,6),(8,5),(8,6),(8,7)\}.$

La relación es transitiva porque, si un número es mayor que un segundo número y este es mayor que un tercero, entonces el primero también es mayor que el tercero. Por ejemplo, como $8>7$ y $7>5$ , se cumple que $8>5$ .

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Definiciones

Una relación binaria $R$ permite asociar elementos de un conjunto. Sus propiedades se determinan observando los pares ordenados que la forman.

Propiedad reflexiva

Una relación es reflexiva cuando todo elemento se relaciona consigo mismo:

$\forall x\in A,\ xRx.$

Propiedad simétrica

Una relación es simétrica cuando, si $(x,y)$ pertenece a la relación, también pertenece $(y,x)$ :

$xRy\Rightarrow yRx.$

Propiedad transitiva

Una relación es transitiva cuando, si $(x,y)$ y $(y,z)$ pertenecen a la relación, también pertenece $(x,z)$ :

$(xRy\land yRz)\Rightarrow xRz.$

Ejemplos

La relación “ $x$ divide a $y$ ” en $\{1,2,4,8\}$ es reflexiva.
La relación “ $x$ es hermana de $y$ ” es simétrica.
La relación “ $x$ es mayor que $y$ ” es transitiva.

Ejemplos resueltos

Dado $M=\{1,2,4,8\}$ , establecer la relación “ $x$ divide a $y$ ”.

La relación es $R=\{(1,1),(1,2),(1,4),(1,8),(2,2),(2,4),(2,8),(4,4),(4,8),(8,8)\}$ . Como todo elemento se relaciona consigo mismo, es reflexiva.

Dado $Q=\{\text{Teresa},\text{Martha},\text{Ana}\}$ , establecer la relación “ $x$ es hermana de $y$ ”.

La relación es $R=\{(T,M),(M,T),(T,A),(A,T),(M,A),(A,M)\}$ . Cada par tiene su par inverso, por lo que la relación es simétrica.

Dado $S=\{5,6,7,8\}$ , establecer la relación “ $x$ es mayor que $y$ ”.

La relación es $R=\{(6,5),(7,5),(7,6),(8,5),(8,6),(8,7)\}$ . Como la desigualdad “mayor que” cumple la propiedad transitiva, la relación es transitiva.

Fórmulas y ecuaciones

$\forall x\in A,\ xRx$

$xRy\Rightarrow yRx$

$(xRy\land yRz)\Rightarrow xRz$

$\forall$ $x\in$ A,\ xRx

$xRy\Rightarrow$ yRx

$\forall$ $x,y\in$ A,\ $xRy\Leftrightarrow$ yRx

$(xRy\land$ $yRz)\Rightarrow$ xRz

Glosario (5)

Relación binaria: Correspondencia que vincula pares de elementos entre conjuntos.
Reflexiva: Propiedad de una relación en la que cada elemento se relaciona consigo mismo.
Simétrica: Propiedad de una relación en la que toda relación entre dos elementos también se cumple en sentido inverso.
Transitiva: Propiedad de una relación en la que una relación encadenada permite relacionar el primer elemento con el tercero.
Par ordenado: pareja de elementos escrita en un orden determinado, como $(x,y)$.

Temas y conceptos clave

Relaciones binariasPropiedad reflexivaPropiedad simétricaPropiedad transitivaRelación binariaPar ordenadoReflexividadSimetríaTransitividadDivisibilidad

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es una relación binaria reflexiva?

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¿Cuál es la diferencia entre una relación simétrica y una transitiva?

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¿Cómo se representan las relaciones binarias mediante pares ordenados?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer conjuntos y sus elementos
• Comprender los pares ordenados
• Interpretar los símbolos de pertenencia y relación
• Conocer la división exacta y el orden de los números

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Relaciones binarias: reflexiva, simétrica y transitiva

Ejemplo1

Dado el conjunto M = (1, 2, 4, 8) considerando que se establece la relación R de M en M definida por “x divide a y, ¿qué pares ordenados definen esta relación y qué propiedad se aplica?

Solución

Encontramos la relación "x divide a y" a) 1 divide a 1,2, 4, y 8 €) 4divide a 4 y 8 b) 2 divide a 2, 4, y 8 d) 8 divide a 8 Los pares ordenados que definen la relación son: R={(1, 1); (1, 2); (1, 4); (1, 8); (2, 2); (2, 4); (2, 8); (4, 4); (4, 8); (8, 8))

Como podemos observar, se cumple la propiedad reflexiva.

Ejemplo 2

Dado el conjunto Q = (Teresa, Martha, Ana) considerando que se establece la relación R de Q en Q definida por "x es hermana de y, ¿cómo relacionamos el problema?

Solución

d) Aes hermana de T

e) Mes hermana de A f) Aes hermana de M Los pares ordenados que definen esta relación son:

R=1((T, M); (M, 7); (T, A); (AT); (M, A); (A, M))

Se cumple la propiedad simétrica.

a) Tes hermana de M b) Mes hermana de T

©) Tes hermana de A

Ejemplo 3 »

Dado el conjunto S = (5, 6, 7, 8), se establece la relación R de S en S definida por “x es mayor que y”. ¿Cómo verificamos la propiedad transitiva?

Solución a) 6es mayor que 5 b) 7 es mayor que 5, 6 c) 8es mayor que 5, 6, 7 Los pares ordenados que definen esta relación son: R=1(6, 5); (7, 5);(7,6);(8, 5),(8,0),(8,7)). La relación cumple la propiedad transitiva.

R es transitiva si un elemento está relacionado con un segundo y este con un tercero, y si el primero está relacionado con el tercero.

@ ¿Sabías que?

Las relaciones

binarias pueden cumplir las siguientes propiedades, pero no necesariamente todas.

Propiedad reflexiva

Los elementos del conjunto están relacionados entre sí de tal manera que: para todo elemento x de A, entonces > xR x.

VxEA,xRx. Propiedad simétrica

Si dos elementos de un conjunto eumplen que, si el primer elemento está relacionado con

el segundo, entonces se cumple también que el segundo está relacionado con el primero:

sixRy>yRx. Vx yEAXRy > yRx. Propiedad transitiva

Dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo está relacionado con el tercero, entonces,

el primero está relacionado con el tercero: