Taller: producto cartesiano y relaciones binarias

Resolución

• a) Verdadero: el producto cartesiano puede representarse mediante un diagrama sagital.
• b) Verdadero: está formado por pares ordenados.
• c) Falso: un par ordenado está formado por dos elementos, llamados primera y segunda componente.
• d) Verdadero: una relación binaria puede representarse en un diagrama cartesiano.
• e) Falso: una relación no tiene que cumplir necesariamente todas las propiedades.

Dados A=\{1,3,5\}, B=\{a,e,0\}, C=\{i,u\} y D=\{2,4,6,8\}:

• A\times B=\{(1,a),(1,e),(1,0),(3,a),(3,e),(3,0),(5,a),(5,e),(5,0)\}.
• A\times C=\{(1,i),(1,u),(3,i),(3,u),(5,i),(5,u)\}.
• B\times C=\{(a,i),(a,u),(e,i),(e,u),(0,i),(0,u)\}.
• C\times D=\{(i,2),(i,4),(i,6),(i,8),(u,2),(u,4),(u,6),(u,8)\}.
• B\times D=\{(a,2),(a,4),(a,6),(a,8),(e,2),(e,4),(e,6),(e,8),(0,2),(0,4),(0,6),(0,8)\}.
• A\times D=\{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8)\}.

Dados A=\{n,s,v\}, B=\{a,e\}, C=\{1,2\} y D=\{1,2,3,4\}:

• A\times B=\{(n,a),(n,e),(s,a),(s,e),(v,a),(v,e)\}.
• B\times C=\{(a,1),(a,2),(e,1),(e,2)\}.
• A\times D=\{(n,1),(n,2),(n,3),(n,4),(s,1),(s,2),(s,3),(s,4),(v,1),(v,2),(v,3),(v,4)\}.
• D\times A=\{(1,n),(1,s),(1,v),(2,n),(2,s),(2,v),(3,n),(3,s),(3,v),(4,n),(4,s),(4,v)\}.
• A\times A=\{(n,n),(n,s),(n,v),(s,n),(s,s),(s,v),(v,n),(v,s),(v,v)\}.

Para A=\{1,3\} y B=\{2,4,6\}:

A\times B=\{(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6)\}.

En el diagrama sagital se trazan flechas desde 1 hacia 2, 4 y 6, y desde 3 hacia 2, 4 y 6. En el diagrama cartesiano se ubican esos seis puntos.

a) Para A=\{1,2,3\} y B=\{2,4,6\}:

A\times B=\{(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6)\}.

Además,

A\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}.

b) Para A=\{1,2,3\}:

A\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}.

En los diagramas sagitales se conectan todos los elementos de la primera copia de A con todos los elementos de la segunda copia. En los diagramas cartesianos se representan los puntos correspondientes.

Sean las fábricas F=\{M,R\} y los centros comerciales C=\{T,SM,CM\}. La relación que permite vender los productos en todos los centros es F\times C:

F\times C=\{(M,T),(M,SM),(M,CM),(R,T),(R,SM),(R,CM)\}.

Cada fábrica debe tener una flecha hacia cada centro comercial. El diagrama sagital mencionado para la compra de refrescos no aparece en la imagen proporcionada; por eso no es posible determinar sus pares ordenados específicos.

Dados M=\{1,2,3,4\} y N=\{1,3\}:

M\times N=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)\}.

Para R_1=\{(x,y)\in M\times N\mid x>y\}, se seleccionan los pares cuyo primer elemento es mayor que el segundo:

R_1=\{(2,1),(3,1),(4,1),(4,3)\}.

Para R_2=\{(x,y)\in M\times N\mid y=x+1\}, el único par que cumple la condición es:

R_2=\{(2,3)\}.

Se trazan flechas desde cada elemento de M hacia 1 y hacia 3 de N. Por tanto, las flechas representan los ocho pares de M\times N obtenidos en el ejercicio 7.

• Una relación no es reflexiva cuando existe algún a\in A tal que (a,a)\notin R.
• Una relación no es simétrica cuando existen a,b\in A tales que (a,b)\in R, pero (b,a)\notin R.
• Una relación no es transitiva cuando existen a,b,c\in A tales que (a,b)\in R y (b,c)\in R, pero (a,c)\notin R.

En el diagrama se observan los pares reflexivos (a,a), (b,b), (c,c) y (d,d). Además, cuando aparece (x,y) también aparece (y,x), y las conexiones cumplen la condición transitiva. Por ello, la relación es reflexiva, simétrica y transitiva.

R,S,T