Relaciones binarias, propiedades y productos cartesianos

1. En los enteros, la relación “divide a” es reflexiva, pero no es simétrica. Por ejemplo, 2 divide a 4, pero 4 no divide a 2. Falso.
2. Si x-y es impar, entonces y-x=-(x-y) también es impar. Verdadero.
3. La relación “es madre de” no es reflexiva ni simétrica. Tampoco es transitiva: si m es madre de h y h es madre de k, entonces m es abuela de k, no madre. Falso.
4. Si x es primo de y, entonces y es primo de x. Verdadero.
5. La relación “es pariente de” es reflexiva, simétrica y transitiva. Verdadero.
6. Si m es múltiplo de n y n es múltiplo de p, entonces m es múltiplo de p. Verdadero.

Una posible respuesta es:

• Reflexiva: R_1=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)\}.
• Simétrica: R_2=\{(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)\}.
• Transitiva: R_3=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,c),(a,c)\}.

El enunciado depende de la relación R_1 definida en el ejercicio 7. Para resolverlo, se deben ubicar en el plano cartesiano todos los pares (x,y) que pertenecen a R_1, usando la primera coordenada en el eje horizontal y la segunda en el eje vertical.

La relación está definida por x<y en T=\{2,3,4,5\}. Se comparan los elementos de T y se conservan únicamente los pares en los que el primer elemento es menor que el segundo:

R=\{(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\}

En el diagrama sagital, las flechas son 2\to3, 2\to4, 2\to5, 3\to4, 3\to5 y 4\to5. En el diagrama cartesiano se ubican los puntos correspondientes a esos seis pares.

La relación es irreflexiva, porque ningún número es menor que sí mismo; no es reflexiva ni simétrica; es asimétrica y transitiva.

A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(3,a),(3,b),(3,c),(3,d)\}

B\times C=\{(a,1),(a,3),(a,5),(b,1),(b,3),(b,5),(c,1),(c,3),(c,5),(d,1),(d,3),(d,5)\}

A\times C=\{(1,1),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)\}

En cada diagrama sagital se dibuja una flecha desde cada elemento del primer conjunto hacia todos los elementos del segundo conjunto. En cada diagrama cartesiano se representan los pares ordenados indicados.

Para A=\{1,2,3,4\} y la condición x<y:

R=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\}

Las flechas del diagrama sagital son 1\to2, 1\to3, 1\to4, 2\to3, 2\to4 y 3\to4. En el diagrama cartesiano se ubican los seis puntos de la relación.

La relación es irreflexiva, asimétrica y transitiva. No es reflexiva, simétrica ni antisimétrica en el sentido de una relación que contenga pares en ambos sentidos; sí cumple la propiedad antisimétrica de manera vacía.

Suponiendo que las tres personas son amigas entre sí y que una persona no se considera amiga de sí misma:

R=\{(\mathrm{Carla},\mathrm{Ana}),(\mathrm{Ana},\mathrm{Carla}),(\mathrm{Carla},\mathrm{María}),(\mathrm{María},\mathrm{Carla}),(\mathrm{Ana},\mathrm{María}),(\mathrm{María},\mathrm{Ana})\}

En el diagrama sagital hay dos flechas entre cada par de personas diferentes: Carla con Ana, Carla con María y Ana con María. En el diagrama cartesiano se ubican los seis pares de la relación.

La relación es simétrica, porque la amistad se considera mutua; no es reflexiva, porque nadie es amiga de sí misma. Tampoco es transitiva, pues (\mathrm{Carla},\mathrm{Ana}) y (\mathrm{Ana},\mathrm{Carla}) pertenecen a la relación, pero (\mathrm{Carla},\mathrm{Carla}) no pertenece a ella.