Potenciación y radicación con números racionales
Respuesta rápida
Cristina: \frac{1}{2}; Ricardo: \frac{1}{4}; Luis: \frac{1}{8}. En la potenciación se repite la base. En la cuarta caja hay 64 cuadrados y cada lado mide 12{,}5\text{ cm}.
Solución — Página 136
Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025
Ideas principales
La potenciación permite escribir de forma abreviada una multiplicación de factores iguales. En una potencia, la base es el factor que se repite y el exponente indica cuántas veces se repite.
Para una fracción se cumple:
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\qquad b\neq 0
donde n es un número entero positivo.
Saberes previos: reparto de stickers
- Cristina entrega la mitad de los stickers: \frac{1}{2}.
- Ricardo entrega la mitad de lo que recibió: \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
- Luis entrega la mitad de lo que recibió: \frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.
Por tanto, Cristina repartió \frac{1}{2}, Ricardo \frac{1}{4} y Luis \frac{1}{8} del total inicial.
División de la caja
Cada nueva división duplica el número de partes de cada lado. En la cuarta caja se obtienen 64 cuadrados, porque:
64=8\times 8
Como la caja original mide 1\text{ m}=100\text{ cm} por lado, el lado de cada cuadrado de la cuarta caja es:
\frac{100\text{ cm}}{8}=12{,}5\text{ cm}
Así, se pueden sembrar 64 plantitas, una en cada cuadrado.
La sucesión de longitudes de lado es \frac{1}{2}, \frac{1}{4} y \frac{1}{8} de metro, mientras que el número de cuadrados es 2, 4, 16 y 64, según las divisiones representadas.
Interdisciplinariedad
El término que se repite varias veces en una potenciación es la base, que representa el factor repetido.
Contenido de la página
Potenciación y radicación con números racionales
La potenciación se utiliza para expresar de forma simplificada el producto de factores iguales. Si la base es una fracción, se eleva tanto el numerador como el denominador:
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\qquad b\neq 0
La base es el número que se repite y el exponente indica cuántas veces aparece como factor. Cuando la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa.
En el ejemplo de la caja cuadrada, las divisiones sucesivas generan 64 partes en la cuarta caja. Al haber 8 cuadrados por lado, cada lado mide 100\div 8=12{,}5\text{ cm}.
Ejemplos resueltos
Cristina entrega la mitad de sus stickers a Ricardo; Ricardo entrega la mitad de lo que recibió a Luis; y Luis entrega la mitad de lo que recibió a Ana. ¿Qué parte del total inicial entrega cada uno?
Cristina entrega \frac{1}{2}. Ricardo entrega \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}. Luis entrega \frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}. Por tanto, las partes son \frac{1}{2}, \frac{1}{4} y \frac{1}{8}.
Una caja cuadrada mide 1\text{ m} por lado y queda dividida en 64 cuadrados iguales, organizados en 8 filas y 8 columnas. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?
Se divide la longitud del lado entre el número de cuadrados de una fila: 100\text{ cm}\div 8=12{,}5\text{ cm}. Cada cuadrado mide 12{,}5\text{ cm} de lado.
Tabla
| Caja | Valor mostrado de la potencia | Resultado |
|---|---|---|
| Caja 1 | \left(\frac{1}{2}\right)^1 | \frac{1}{2} |
| Caja 2 | \left(\frac{1}{2}\right)^2 | \frac{1}{4} |
| Caja 3 | \left(\frac{1}{2}\right)^4 | \frac{1}{16} |
| Caja 4 | \left(\frac{1}{2}\right)^6 | \frac{1}{64} |
Fórmulas y ecuaciones
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}
\text{lado de cada cuadrado}=\frac{100\text{ cm}}{8}=12{,}5\text{ cm}
\left(@@MATH_0@@\right)^n=@@MATH_1@@,\quad b\neq 0
\left(@@MATH_0@@\right)^1=\frac{1}{2}
\left(@@MATH_0@@\right)^2=\frac{1}{4}
\left(@@MATH_0@@\right)^4=\frac{1}{16}
\left(@@MATH_0@@\right)^6=\frac{1}{64}
\frac{100\text{ cm}}{8}=12{,}5\text{ cm}
Glosario (5)
- Base
- Número o expresión que se multiplica repetidamente en una potencia.
- Exponente
- Número que indica cuántas veces se repite la base como factor.
- Potencia
- Resultado de una potenciación o expresión formada por una base y un exponente.
- Número racional
- Número que puede expresarse como el cociente de dos números enteros, con denominador diferente de cero.
- Radicación
- Operación inversa de la potenciación que permite encontrar una raíz.
Preguntas para practicar
¿Por qué la potenciación facilita la escritura de una multiplicación de factores iguales?
¿Qué ocurre con el signo de una potencia cuando la base es negativa y el exponente es impar?
Temas y conceptos clave
Fuentes y referencias
- Enlace didáctico indicado en la página: lynk.ec/8m22
Figuras de la página (2)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se eleva una fracción a una potencia?
¿Cuál es la diferencia entre la base y el exponente?
¿Cómo se relacionan las potencias con la división de una figura?
- • Multiplicación y división de fracciones
- • Conversión entre metros y centímetros
- • Interpretación de partes iguales de una figura
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2400 caracteres
Tema 1
$555 Interdisciplinariedad
Matematica
y Economia La potenciación es muy utilizada al momento de realizar un préstamo, pues con una función potencia, se puede calcular el interés que te corresponde pagar en un cierto tiempo.
Responde: ¿qué término se repite varias veces en la potenciación?
$ n n
() o e sib #0
y n pertenece al
conjunto de números enteros positivos.
Recuerda que
Ws Competencia digital
Ingresa al siguiente enlace web lynk.ec/8m22
y conoce de algunos trucos de potenciación que harán tu aprendizaje más divertido.
Potenciación y radicación con números racionales
(D @} Saberes previos
Cristina repartió la mitad de sus stickers a su amigo Ricardo, quien le regaló la mitad a su amigo Luis. Este, a su vez, le regaló la mitad a su hermana Ana. ¿Qué parte de stickers repartió cada uno?
Rosario tiene una caja cuadrada que mide 1 metro por lado. Quiere germinar semillas de árboles para el proyecto de forestación de su colegio. Para esto, divide 4 veces la caja de la siguiente manera:
Analicemos cómo se forma cada figura. Sabiendo que el lado de la caja mide 1 metro y si se siguen dividiendo de la misma manera, ¿cuánto medirá el lado de cada cuadrado de la figura 4? ¿Cuántas plantitas se podrán sembrar si en cada división se siembra una planta?
Observemos que, contando desde la segunda figura, el valor del lado de cada cuadrado se puede obtener al multiplicar la medida del lado del cuadrado de la
1 figura anterior por ; + es decir, los lados de cuadrado serán potencias de El
La cuarta caja quedaría dividida en 64
Caja Valor del lado del cuadrado | ees eS. partes y el lado de cada cuadrado medirá: 14 vP_1 Caja 1 =|=> 3l=> Bn (3) 2 (5 64 2 Caja 2 (2) alae beet 2. 22 4 Caja 3 (5 Illia ld á 2) 2 2 16 ae 100cm+8=12,5cm 6 ‘ _1_1_1_1_1_1_1]| Cada lado del cuadrado formado en la ans ( ) 7 2 2 $ Za a a 2" 2 64| Cuarta caja medirá 12,5 cm, y se podrán sembrar 64 plantitas.
La potenciación se utiliza para expresar en forma simplificada el producto de factores iguales.
La potencia de un número racional es negativa cuando la base es negativa y el exponente es un número impar.
M.4.1.18. Calcular potencias de números racionales con exponentes enteros. M.4.1.19. Calcular raíces de números racionales no negativos en la solución de ejercicios numéricos (con operaciones combinadas) y algebraicos, atendiendo la
jerarquía de la operación.
136
Otros libros recomendados
Matematica 4° · Cartilla 02
MinEducación
140 págs.
Matematica 9° · Secundaria Activa
MinEducación
218 págs.
Matematica 6° · Secundaria Activa
MinEducación
252 págs.
Matematica 2° · Cartilla 01
MinEducación
92 págs.
Matematica 2° · Cartilla 02
MinEducación
100 págs.
Matematica 9° · Postprimaria
MinEducación
214 págs.
Matematica 6° · Postprimaria
MinEducación
222 págs.
Matematica 7° · Postprimaria
MinEducación
230 págs.