Propiedades de la potenciación y radicación con números racionales

Potenciación de números racionales

Para calcular una potencia de un número racional, se multiplica la base tantas veces como indique el exponente.

Ejemplo 1

a)

\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27}

b)

\left(-\frac{2}{3}\right)^4=\left(-\frac{2}{3}\right)\times\left(-\frac{2}{3}\right)\times\left(-\frac{2}{3}\right)\times\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{81}

Como el exponente es par, el resultado es positivo.

c)

\left(-\frac{3}{4}\right)^3=\left(-\frac{3}{4}\right)\times\left(-\frac{3}{4}\right)\times\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{27}{64}

Como el exponente es impar, el resultado conserva el signo negativo.

Propiedades de la potenciación

Para \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}, con b\neq 0 y m,n\in\mathbb{Z}^+, se cumplen estas propiedades:

\left(\frac{a}{b}\right)^m\times\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}

\left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}

\left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m\times n}

\left(\frac{a}{b}\right)^{-m}=\left(\frac{1}{a/b}\right)^m=\left(\frac{b}{a}\right)^m

5. Potencia con exponente cero: si \frac{a}{b}\neq 0, entonces \left(\frac{a}{b}\right)^0=1

Radicación con números racionales

La radicación es el proceso inverso de la potenciación. Permite encontrar la base de una potencia.

Por ejemplo:

\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}

porque

\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}

En general:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{c}{d}\quad\text{si y solo si}\quad\left(\frac{c}{d}\right)^n=\frac{a}{b},\quad n>1

Propiedades de la radicación

\left(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\right)^m=\sqrt[n]{\frac{a^m}{b^m}}

\sqrt[n]{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\times\sqrt[n]{\frac{c}{d}}

\sqrt[n]{\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\div\sqrt[n]{\frac{c}{d}}

Si el índice del radical es impar, se puede calcular la raíz de un número racional negativo. Si el índice es par, solamente se pueden calcular raíces reales de números racionales positivos o cero.