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Binomio al cuadrado y producto de la suma por la diferencia

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ejemplo 1: a) $y^2+18y+81$ ; b) $25x^2-30xy^2+9y^4$ ; c) $\frac{1}{9}r^{-8}-\frac{2}{5}r^{-4}s^3t^2+\frac{9}{25}s^6t^4$ ; d) $\frac{1}{4}x^{2m+2}-2nx^{m+1}+4n^2$ .

Ejemplo 2: a) $4a^2-25b^2$ ; b) $\frac{1}{16}y^{2n}-\frac{16}{25}x^{2m}$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 105

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Fórmulas principales

Para desarrollar un binomio al cuadrado se aplican las identidades:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Para el producto de binomios conjugados se utiliza:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Ejemplo 1: binomios al cuadrado

$(y+9)^2=y^2+2(y)(9)+9^2=y^2+18y+81$

$(5x-3y^2)^2=(5x)^2-2(5x)(3y^2)+(3y^2)^2$

$(5x-3y^2)^2=25x^2-30xy^2+9y^4$

c) Como $0,\widehat{3}=\frac{1}{3}$ :

$\left(\frac{1}{3}r^{-4}-\frac{3}{5}s^3t^2\right)^2 =\left(\frac{1}{3}r^{-4}\right)^2-2\left(\frac{1}{3}r^{-4}\right)\left(\frac{3}{5}s^3t^2\right)+\left(\frac{3}{5}s^3t^2\right)^2$

$=\frac{1}{9}r^{-8}-\frac{2}{5}r^{-4}s^3t^2+\frac{9}{25}s^6t^4$

$\left(\frac{1}{2}x^{m+1}-2n\right)^2=\left(\frac{1}{2}x^{m+1}\right)^2-2\left(\frac{1}{2}x^{m+1}\right)(2n)+(2n)^2$

$\left(\frac{1}{2}x^{m+1}-2n\right)^2=\frac{1}{4}x^{2m+2}-2nx^{m+1}+4n^2$

Ejemplo 2: binomios conjugados

Los binomios conjugados tienen los mismos términos, pero uno de ellos cambia de signo.

$(2a-5b)(2a+5b)=(2a)^2-(5b)^2$

$(2a-5b)(2a+5b)=4a^2-25b^2$

b) Como $0,25=\frac{1}{4}$ :

$\left(\frac{1}{4}y^n+\frac{4}{5}x^m\right)\left(0,25y^n-\frac{4}{5}x^m\right) =\left(\frac{1}{4}y^n\right)^2-\left(\frac{4}{5}x^m\right)^2$

$=\frac{1}{16}y^{2n}-\frac{16}{25}x^{2m}$

La demostración geométrica muestra que $(x+a)(x-a)$ representa un cuadrado de lado $x$ al que se le quita un cuadrado de lado $a$ ; por eso el resultado es $x^2-a^2$ .

Contenido de la página

Binomio al cuadrado

La suma o diferencia de dos términos elevada al cuadrado se desarrolla como el cuadrado del primer término, más o menos el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término.

Producto de la suma por la diferencia

El producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia entre los cuadrados de sus términos. Esta identidad también se denomina diferencia de cuadrados.

Ejemplos resueltos

Desarrollar $(y+9)^2$ .

$(y+9)^2=y^2+2(y)(9)+9^2=y^2+18y+81$

Desarrollar $(5x-3y^2)^2$ .

$(5x-3y^2)^2=25x^2-30xy^2+9y^4$

Encontrar $(2a-5b)(2a+5b)$ .

$(2a-5b)(2a+5b)=(2a)^2-(5b)^2=4a^2-25b^2$

Fórmulas y ecuaciones

$(x\pm a)^2=x^2\pm 2ax+a^2$

$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Glosario (4)

Binomio: Expresión algebraica formada por dos términos unidos mediante una suma o una resta.
Binomios conjugados: Binomios que tienen los mismos términos, pero con signos opuestos entre ellos.
Diferencia de cuadrados: Resultado de restar el cuadrado de un término al cuadrado de otro: $a^2-b^2$.
Producto notable: Multiplicación algebraica cuyo resultado puede obtenerse mediante una regla o identidad conocida.

Temas y conceptos clave

Binomio al cuadradoProducto de binomios conjugadosDiferencia de cuadradosDemostración geométrica$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$Binomios conjugadosConversión de decimales periódicos y decimales exactos a fracciones

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se desarrolla un binomio al cuadrado?

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¿Qué son los binomios conjugados?

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¿Cómo se aplica la diferencia de cuadrados?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con monomios
• Potenciación de expresiones algebraicas
• Leyes de los exponentes
• Suma y resta de términos semejantes

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Cubo de un binomio y otros productos notables

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1534 caracteres

Generalizando, tenemos que: & Recuerda que...

=) 2 (a+b)=a" +2ab+b Para la demostracion (a-b) =a’ -2ab+b’ geométrica de

(x+a(x-a)=x°-a’,

Ejemplo 1 ' construimos un Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado: rectángulo de medidas 2 («+ a) y (x- a). Luego, a) (y+9) c) (03 -¿0e) trazamos una recta, de 5 manera que obtenemos 5 dos trapecios. Te b) (5x-3y i d) & L an) Nees Solución 3 E ¿a . a x. Aplicamos la regla (x +a)’ = x? + 2ax +a’, observando el signo. Separamos los a) (y+9) =y*+2yX9)+9 =y? +18y +81 trapecios, Giramos el

primero a la izquierda y luego hacia abajo,

b) (5x-3y) =(5x) -2(5x)(3y’)+(3y’)’ =25x? -301y" + 9y’ de modo que al unirlo al segundo trapecio, x 3 2 ft? 1 3 3 2 obtengamos la c) (oa lor) = ES ir ¡EJES siguiente construcción: 5 E 3 5 5 x-a 1 $y9_2$ 45242 564 a 25 a

2 2 = d) (3-20) (2) -2{ Le Jen) (2ny oad 2 2 2 a x.

= 1 ams?_ony "An? Aqui observamos un 4 cuadrado de lado x, al que le falta un Producto de la suma por la diferencia de dos términos cuadrado de lado a.

Es el producto de dos binomios conjugados o producto de la suma por la diferen- a lie:

cia de dos términos: (a+b)(a—b) =a’ -b? bala) = xa” Ejemplo 2

Encontrar el producto de los binomios conjugados.

a) (2a-5b)X2a+5b) b) A [oasy 4")

Solución

Observamos que los binomios sean conjugados, es decir, que tengan términos iguales con signo contrario, y aplicamos la regla: (x +a)(x —a) = x? - a?

a) (2a—5b)(2a+5b) =(2a)’ -(5b)’ =4a? -25b?

1,4 4 A O 16 b) [-y +2" |] o,25y"—2x 1229] [8 m1 2+ an 22m (3 5 ] tg ) Ga E ) 16% 735

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