Aplica la propiedad asociativa para convertir cada trinomio en binomio y desarrolla el producto.

a) 4a^2-12ab+9b^2-16ac+24bc+16c^2; b) 25x^4+30x^2y+9y^2+20x^2z^2+12yz^2+4z^4; c) 3x^2+26xy+23x+2y^2+22y+1

Expresa el área de cada figura.

A_a=x^2-4, A_b=4x^2-9, A_c=1/4y^2-100

Obtén los productos notables de los incisos a) hasta i).

x^2-9; 4x^2-36; 9b^2-36a^4; 0,01x^4-0,04y^6; 1/64z^-4-1/9y^4; m^2-1,96a^2; r^2m+2-625^n; 64a^2x-2-9b^2x+2; 4/49x^2n-4-1/16y^-2

Escribe el término o los términos faltantes para que se cumpla cada producto.

a) (3a-2b)^2; b) (2x-y)^2; c) (7x-4y)(7x+4y); d) sin términos faltantes; e) x^4m-9

Determina los productos notables de los incisos a) hasta f).

a) a^2+4b^2+9c^4-4ab+6ac^2-12bc^2; b) x^2-4x+4; c) 36x^2-4y^2; d) x+20x+100; e) 2-3x; f) 20m^2-20mn+5n^2

Explica, usando productos notables, las igualdades propuestas.

(2y+3)(-2y-3)=-(2y+3)^2; (7x-2y)(-7x-2y)=4y^2-49x^2

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Productos notables

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

8a) $4a^2-12ab+9b^2-16ac+24bc+16c^2$ ; 8b) $25x^4+30x^2y+9y^2+20x^2z^2+12yz^2+4z^4$ ; 8c) $3x^2+2\sqrt{6}xy+2\sqrt{3}x+2y^2+2\sqrt{2}y+1$ . 9a) $x^2-4$ ; 9b) $4x^2-9$ ; 9c) $\frac{1}{4}y^2-100$ . 10a) $x^2-9$ ; 10b) $4x^2-36$ ; 10c) $9b^2-36a^4$ ; 10d) $0,01x^4-0,04y^6$ ; 10e) $\frac{1}{64}z^{-4}-\frac{1}{9}y^4$ ; 10f) $m^2-1,96a^2$ ; 10g) $r^{2m+2}-625^n$ ; 10h) $64a^{2x-2}-9b^{2x+2}$ ; 10i) $\frac{4}{49}x^{2n-4}-\frac{1}{16}y^{-2}$ . 11a) $(3a-2b)^2$ ; 11b) $(2x-y)^2$ ; 11c) $(7x-4y)(7x+4y)$ ; 11e) $x^{4m}-9$ . 12a) $a^2+4b^2+9c^4-4ab+6ac^2-12bc^2$ ; 12b) $x^2-4x+4$ ; 12c) $36x^2-4y^2$ ; 12d) $x+20\sqrt{x}+100$ ; 12e) $2-3x$ ; 12f) $20m^2-20mn+5n^2$ .

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Solución — Página 107

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 8

Conversión de trinomios en binomios

Se aplica $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ o $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ .

a) $(2a-3b-4c)^2=[(2a-3b)-4c]^2$ $=4a^2-12ab+9b^2-16ac+24bc+16c^2$

b) $(5x^2+3y+2z^2)^2=[(5x^2+3y)+2z^2]^2$ $=25x^4+30x^2y+9y^2+20x^2z^2+12yz^2+4z^4$

c) $(\sqrt{3}x+\sqrt{2}y+1)^2=[(\sqrt{3}x+\sqrt{2}y)+1]^2$ $=3x^2+2\sqrt{6}xy+2\sqrt{3}x+2y^2+2\sqrt{2}y+1$

Ejercicio 9

Áreas

El área de un rectángulo es el producto de sus lados.

a) $A=(x+2)(x-2)=x^2-4$

b) $A=(2x+3)(2x-3)=4x^2-9$

c) $A=\left(\frac{1}{2}y+10\right)\left(\frac{1}{2}y-10\right)=\frac{1}{4}y^2-100$

Ejercicio 10

Productos notables

Se usa la diferencia de cuadrados: $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ .

a) $x^2-9$ .

b) $4x^2-36$ .

c) $9b^2-36a^4$ .

d) $0,01x^4-0,04y^6$ .

e) $\frac{1}{64}z^{-4}-\frac{1}{9}y^4$ .

f) $m^2-1,96a^2$ .

g) $r^{2m+2}-625^n$ .

h) $64a^{2x-2}-9b^{2x+2}$ .

i) $\frac{4}{49}x^{2n-4}-\frac{1}{16}y^{-2}$ .

Ejercicio 11

Términos faltantes

a) $(3a-2b)^2=9a^2-12ab+4b^2$

b) Para obtener el término negativo del doble producto: $(2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2$

c) Se completa con el conjugado: $(7x-4y)(7x+4y)=49x^2-16y^2$

d) La expresión ya está completa: $\left(\frac{1}{8}x^5+2\right)\left(\frac{1}{8}x^5-2\right)=\frac{1}{64}x^{10}-4$

e) $(x^{2m}-3)(3+x^{2m})=(x^{2m}-3)(x^{2m}+3)=x^{4m}-9$

Ejercicio 12

Productos notables

a) $(a-2b+3c^2)^2=a^2+4b^2+9c^4-4ab+6ac^2-12bc^2$

b) $(x-2)^2=x^2-4x+4$

c) $(6x+2y)(6x-2y)=36x^2-4y^2$

d) $(\sqrt{x}+10)^2=x+20\sqrt{x}+100$

e) $(\sqrt{2}+\sqrt{3x})(\sqrt{2}-\sqrt{3x})=2-3x$

f) $(\sqrt{20}m-\sqrt{5}n)^2=20m^2-20mn+5n^2$

Ejercicio 13

Trabajo colaborativo

Como $-2y-3=-(2y+3)$ , se tiene: $(2y+3)(-2y-3)=-(2y+3)^2$ Además, $(-2y+3)^2=(2y-3)^2=4y^2-12y+9$ Por tanto, tal como está escrita la igualdad en la página, $(2y+3)(-2y-3)$ no es igual a $(-2y+3)^2$ . La identidad correcta relacionada con la diferencia de cuadrados es: $(2y+3)(-2y+3)=9-4y^2$

Para la segunda igualdad: $(7x-2y)(-7x-2y)=(-2y+7x)(-2y-7x)$ $=(-2y)^2-(7x)^2=4y^2-49x^2$

Ejercicio 14

Demostración de $(x-a)^2$

Se escribe el cuadrado como producto de factores iguales: $(x-a)^2=(x-a)(x-a)$ Aplicando la propiedad distributiva: $(x-a)(x-a)=x^2-ax-ax+a^2$ Al reducir términos semejantes: $\boxed{(x-a)^2=x^2-2ax+a^2}$

Contenido de la página

Productos notables

Los productos notables permiten desarrollar expresiones algebraicas usando reglas abreviadas. Los principales productos trabajados son el cuadrado de un binomio, el cuadrado de un trinomio agrupado como binomio y la diferencia de cuadrados.

Fórmulas

$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$
$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$

Estas fórmulas también se aplican a expresiones con números, variables, fracciones, exponentes y radicales.

Ejemplos resueltos

Desarrollar $(x+y-3z)^2$ .

$(x+y-3z)^2=[(x+y)-3z]^2$ $=(x+y)^2-6z(x+y)+9z^2$ $=x^2+2xy+y^2-6xz-6yz+9z^2$

Demostrar el cuadrado de una diferencia.

$(x-a)^2=(x-a)(x-a)=x^2-ax-ax+a^2=x^2-2ax+a^2$

Fórmulas y ecuaciones

$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$

$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$

$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$

$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$

$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$

$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$

$(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$

Glosario (5)

Producto notable: Multiplicación algebraica que puede resolverse mediante una fórmula conocida.
Binomio: Expresión algebraica formada por dos términos unidos por una suma o una resta.
Conjugados: Binomios que tienen los mismos términos, pero con signos opuestos entre ellos.
Diferencia de cuadrados: Producto de dos binomios conjugados cuyo resultado es el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.
Propiedad asociativa: Propiedad que permite agrupar términos sin cambiar el resultado de una operación.

Preguntas para practicar

¿Por qué los términos cruzados se cancelan en el producto de binomios conjugados?

¿Cómo se puede representar geométricamente la fórmula $(x-a)^2$?

¿Qué diferencia existe entre el cuadrado de un binomio y la diferencia de cuadrados?

Temas y conceptos clave

Cuadrado de un binomioCuadrado de un trinomioDiferencia de cuadradosÁreas expresadas algebraicamenteDemostración de identidades algebraicas$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$Propiedad asociativaPropiedad distributiva

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se desarrolla el cuadrado de un binomio?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es la diferencia de cuadrados?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se resuelve el cuadrado de un trinomio?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Propiedad distributiva de la multiplicación
• Reducción de términos semejantes
• Operaciones con potencias y radicales
• Multiplicación de monomios

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Factorización de expresiones algebraicas mediante productos notables

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1248 caracteres

Aplica la propiedad asociativa para convertir h) (sa -30'")(30""+8a")- a cada trinomio en binomio. Luego realiza el producto. Sigue el ejemplo:

: i) Ga lar y (x+y-3z) =[(x+y)-32] 7 4 7 4 =(x+y) -2(x+ y)(32)-92* 11. Escribe en tu cuaderno el término o los términos =x +2xy+y?-6x2-6yz-92? faltantes para que se cumpla el producto. a) (2a-3b-4c) =[(2a-3b)-4c] a) (3a-2b) =9a’ -12ab+4b'

sa (50 +3y+22 ) =[(sx +3y)+22 ] b) (2x+y) =4x-4xy+y? Ran c) (V3x+V2y +1) =[(V3x+v2y)+1]

©) (7x-4y) = 49x’ -16y? Expresa el drea de las figuras. d) ES Jo a 64 ay UY ew) e) (x°”-3)(34x°")= -9

x+2 12. Determina los siguientes productos notables.

SS b) SS 2x +3 a) (a-2b+3c’)
2x-3 a2) c) Gh er ©) (6x +2y)-(6x-2y) LZZZLLA, 2 410 d) ( vx +10) 2 Obtén el producto notable. sl (V2+43x): (v2- V3x) a) (x-3)(x+3)= 1 (Jm- Jn)

b) (2x-6)(2x+6)=

Trabajo colaborativo

c) (6a° + 3b)(3b -6a° ) = 13. Trabajen en parejas y resuelvan. Organicen grupos de tres integrantes para d) (0,1% ; +0,2y’)(0,1x? -0,2y')= explicar por qué (2y + 3) (-2y — 3) es igual a (-2y + 3% y por qué (7x — 2y)(-7x — 2y) = “ (Eo +ly le). 4y2— 49x2, usando productos notables.

f) (m-14a)(m+140)=