Triángulo de Pascal y teorema del binomio

Saberes previos

Aplicamos el cuadrado de un binomio:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Con a=2x y b=3:

(2x-3)^2=(2x)^2-2(2x)(3)+3^2

(2x-3)^2=4x^2-12x+9

Aplicamos el cubo de un binomio:

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Con a=4a y b=5b:

(4a+5b)^3=(4a)^3+3(4a)^2(5b)+3(4a)(5b)^2+(5b)^3

(4a+5b)^3=64a^3+240a^2b+300ab^2+125b^3

Estructura del triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es simétrico y está formado por filas de números enteros. Cada fila comienza y termina en 1. Los términos interiores se obtienen sumando los dos números que están inmediatamente encima.

Las primeras filas son:

\begin{array}{ccccccccccc} &&&&1\\ &&&1&&1\\ &&1&&2&&1\\ &1&&3&&3&&1\\ 1&&4&&6&&4&&1 \end{array}

La suma de los términos de cada fila produce potencias de 2. Por ejemplo, la suma de la fila n es 2^n, si la primera fila se considera como la fila 0.

Ejemplo 1: filas 9 y 10

Para obtener la fila 9, se suman los términos consecutivos de la fila 8:

1+8=9,\quad 8+28=36,\quad 28+56=84

56+70=126,\quad 70+56=126,\quad 56+28=84

28+8=36,\quad 8+1=9

Por tanto, la fila 9 es:

1,\ 9,\ 36,\ 84,\ 126,\ 126,\ 84,\ 36,\ 9,\ 1

Para formar la fila 10, se suman los términos consecutivos de la fila 9:

1+9=10,\quad 9+36=45,\quad 36+84=120

84+126=210,\quad 126+126=252,\quad 126+84=210

84+36=120,\quad 36+9=45,\quad 9+1=10

Por tanto, la fila 10 es:

1,\ 10,\ 45,\ 120,\ 210,\ 252,\ 210,\ 120,\ 45,\ 10,\ 1