Desarrollo de binomios

Ideas principales

Para desarrollar un binomio se utiliza:

(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{n-r}b^r

El término general es:

T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r

El término quinto corresponde a r=4. En un desarrollo con exponente 6, el término del medio es el quinto; en un desarrollo con exponente 8, el término del medio es el quinto si se consideran los términos centrales quinto y sexto. En el ejercicio 5b, la expresión tiene nueve términos y el término central es el quinto.

a)

T_5=\binom{6}{4}(4x)^2(-y^2)^4=15\cdot16x^2y^8=240x^2y^8

El coeficiente es 240.

b)

T_5=\binom{8}{4}(6a)^4(-b^3)^4

T_5=70\cdot1296a^4b^{12}=90720a^4b^{12}

c) El término general es:

T_{r+1}=\binom{6}{r}(3x^2)^{6-r}(-x^{-1})^r

El exponente de x es 2(6-r)-r=12-3r. Para que no aparezca x, se requiere 12-3r=0, de donde r=4. Por tanto, corresponde al quinto término.

d)

T_4=\binom{5}{3}\left(\frac{x^3}{3}\right)^2(-3)^3

T_4=10\cdot\frac{x^6}{9}\cdot(-27)=-30x^6

Se aplican los coeficientes del triángulo de Pascal y se simplifican las potencias.

a)

(2-a)^5=32-80a+80a^2-40a^3+10a^4-a^5

b)

(b^3+1)^8=b^{24}+8b^{21}+28b^{18}+56b^{15}+70b^{12}+56b^9+28b^6+8b^3+1

c)

(z^2-3)^7=z^{14}-21z^{12}+189z^{10}-945z^8+2835z^6-5103z^4+5103z^2-2187

d)

(m^4+5n^3)^6=m^{24}+30m^{20}n^3+375m^{16}n^6+2500m^{12}n^9+9375m^8n^{12}+18750m^4n^{15}+15625n^{18}

e)

(5x-3y^2)^4=625x^4-1500x^3y^2+1350x^2y^4-540xy^6+81y^8

f)

(x^2+2y^2)^9=x^{18}+18x^{16}y^2+144x^{14}y^4+672x^{12}y^6+2016x^{10}y^8+4032x^8y^{10}+5376x^6y^{12}+4608x^4y^{14}+2304x^2y^{16}+512y^{18}

g)

(2m^2-n^4)^5=32m^{10}-80m^8n^4+80m^6n^8-40m^4n^{12}+10m^2n^{16}-n^{20}

a)

(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4

b)

(m-n)^5=m^5-5m^4n+10m^3n^2-10m^2n^3+5mn^4-n^5

c)

(3+a)^5=243+405a+270a^2+90a^3+15a^4+a^5

d)

(a^2-b)^9=a^{18}-9a^{16}b+36a^{14}b^2-84a^{12}b^3+126a^{10}b^4-126a^8b^5+84a^6b^6-36a^4b^7+9a^2b^8-b^9

Un ejemplo válido es el binomio (x+2y)^6, pues 4\leq6\leq8. Sus dos primeros términos son:

(x+2y)^6=x^6+12x^5y+\cdots

Ejercicios 9 y 10

Una observación importante es que la fila correspondiente a la potencia 11 de un binomio contiene los coeficientes:

1,\ 11,\ 55,\ 165,\ 330,\ 462,\ 462,\ 330,\ 165,\ 55,\ 11,\ 1

Estos números son los coeficientes de (a+b)^{11}. La fila es simétrica: los coeficientes se leen igual desde ambos extremos. Además, los números interiores se obtienen sumando dos números consecutivos de la fila anterior.