Encuentra las filas 10, 11 y 12 del triángulo de Pascal.

F10: 1,9,36,84,126,126,84,36,9,1; F11: 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1; F12: 1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1

Determina los términos solicitados en cada desarrollo binomial.

x^9,-a^9; a^18,64b^30; -1344y^6; 10813440a^4; -12xy^6; 1

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Triángulo de Pascal y desarrollo de binomios

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

1b) $15$ y $21$ . 1c) $35$ .

Fila 10: $1,9,36,84,126,126,84,36,9,1$ ; fila 11: $1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1$ ; fila 12: $1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1$ .
a) $6$ ; b) $9$ ; c) $3$ ; d) $12$ ; e) $n+1$ ; f) $21$ .
a) $x^9$ , $-a^9$ ; b) $a^{18}$ , $64b^{30}$ ; c) $-1344y^6$ ; d) $10813440a^4$ ; e) $-12xy^6$ ; f) $1$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 114

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Números del triángulo de Pascal

Parte 1.a

Identificación de las diagonales

Al observar el triángulo de Pascal en forma diagonal se reconocen:

La primera diagonal: unos.
La segunda diagonal: números naturales.
La tercera diagonal: números triangulares.
La cuarta diagonal: números tetraédricos.

Los números triangulares siguen la forma $1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$ y los números tetraédricos siguen la forma $1, 4, 10, 20, 35, \ldots$ .

Parte 1.b

Números triangulares de las figuras

La primera figura tiene $5$ filas, por lo tanto corresponde al quinto número triangular: $T_5=\frac{5(5+1)}{2}=15$

La segunda figura tiene $6$ filas, por lo tanto corresponde al sexto número triangular: $T_6=\frac{6(6+1)}{2}=21$

Parte 1.c

Número tetraédrico de la figura

La figura corresponde al quinto número tetraédrico: $Te_5=\frac{5(5+1)(5+2)}{6}=\frac{5\cdot6\cdot7}{6}=35$

Ejercicio 2

Filas del triángulo de Pascal

Considerando que la fila 1 es $1$ , las filas solicitadas son:

Fila 10: $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$ .
Fila 11: $1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1$ .
Fila 12: $1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1$ .

Ejercicio 3

Número de términos

El desarrollo de un binomio elevado a la potencia $n$ tiene $n+1$ términos.

$(x-b)^5$ : $5+1=6$ términos.
$(m-n)^8$ : $8+1=9$ términos.
$(a^5-b^2)^2$ : $2+1=3$ términos.
$(2m+6)^{11}$ : $11+1=12$ términos.
$(z-8)^n$ : $n+1$ términos.
$(r-2s)^{20}$ : $20+1=21$ términos.

Ejercicio 4

Términos de los desarrollos

Se utiliza el término general del binomio: $T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Parte 4.a

$(x-a)^9$

Primer término: $x^9$

Último término: $(-a)^9=-a^9$

Parte 4.b

$(a^3-2b^5)^6$

Primer término: $(a^3)^6=a^{18}$

Último término: $(-2b^5)^6=64b^{30}$

Parte 4.c

Segundo término de $(2y-3)^7$

Para el segundo término, $k=1$ : $T_2=\binom{7}{1}(2y)^6(-3)$ $T_2=7\cdot64y^6\cdot(-3)=-1344y^6$

Parte 4.d

Quinto término de $(2+4a)^{11}$

Para el quinto término, $k=4$ : $T_5=\binom{11}{4}(2)^7(4a)^4$ $T_5=330\cdot128\cdot256a^4=10813440a^4$

Parte 4.e

Cuarto término de $(3x-y^2)^4$

Para el cuarto término, $k=3$ : $T_4=\binom{4}{3}(3x)^1(-y^2)^3$ $T_4=4\cdot3x\cdot(-y^6)=-12xy^6$

Parte 4.f

Último término de $(2x^3-1)^{50}$

El último término se obtiene cuando se toma únicamente el segundo término del binomio: $(-1)^{50}=1$

Contenido de la página

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal se forma colocando unos en los extremos de cada fila y sumando dos números consecutivos de la fila anterior para obtener los números interiores.

Sus diagonales contienen sucesiones importantes: unos, números naturales, números triangulares y números tetraédricos.

Números triangulares y tetraédricos

Los números triangulares permiten formar estructuras triangulares. Sus primeros términos son $1,3,6,10,15,21,\ldots$ .

Los números tetraédricos permiten formar estructuras piramidales de base triangular. Sus primeros términos son $1,4,10,20,35,\ldots$ .

Desarrollo de un binomio

El desarrollo de $(a+b)^n$ tiene $n+1$ términos. El término general se expresa como: $T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Ejemplos resueltos

Determinar el quinto número triangular.

$T_5=\frac{5(6)}{2}=15$ .

Determinar el quinto número tetraédrico.

$Te_5=\frac{5\cdot6\cdot7}{6}=35$ .

Fórmulas y ecuaciones

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$

$Te_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Un binomio elevado a $n$ tiene $n+1$ términos.

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$

$Te_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

$T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Glosario (4)

Número triangular: Número que puede representarse mediante una cantidad de puntos organizados en forma de triángulo.
Número tetraédrico: Número que puede representarse mediante puntos organizados en una pirámide de base triangular.
Coeficiente binomial: Número que aparece en el triángulo de Pascal y se calcula mediante combinaciones.
Término general: Expresión que permite encontrar cualquier término del desarrollo de un binomio.

Temas y conceptos clave

Triángulo de PascalNúmeros triangularesNúmeros tetraédricosNúmero de términos de un binomioTérminos de un desarrollo binomialCada fila del triángulo de Pascal contiene los coeficientes binomiales.Los números triangulares forman estructuras triangulares.Los números tetraédricos forman pirámides de base triangular.Un binomio elevado a $n$ tiene $n+1$ términos.El término general es $T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

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Figuras de la página (4)

Representaciones mediante puntos de números triangulares y tetraédricos. — Figura 2 image

Figuras de puntos que deben relacionarse con números triangulares y tetraédricos. — Figura 3 image

Figura 4 de Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025 — Figura 4 image

Figura 5 de Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025 — Figura 5 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se obtienen las filas del triángulo de Pascal?

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¿Cuál es la fórmula del término general de un binomio?

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¿Cómo se calculan los números triangulares y tetraédricos?

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📌 Antes de leer esto

• Potenciación de números y expresiones algebraicas
• Coeficientes binomiales
• Multiplicación de monomios
• Identificación de filas y diagonales del triángulo de Pascal

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1,1M.4.2,2.

Lee la información. Luego, realiza las actividades _ 2. Encuentra los números que corresponden a la indicadas. : fila 10, la fila 11 y la fila 12 del triángulo de Pascal.

a) Al analizar el triángulo de Pascal en forma : diagonal, se observa la disposición de los | Fila 10

siguientes tipos de números: E Fila 11

nos

Números naturales ; Números triangulares : Fila 12 Números tetraédricos :

: 3, Determina el número de términos que : corresponde al desarrollo del binomio.

a) (x-bY Los números triangulares son aquellos que : b) (m-nY permiten obtener una estructura triangular. — : U : 5 22 e : e) (a”-b?) . ee PA o ee eee 10990 i > E 6 10 O GD) Los números tetraédricos son aquellos que E permiten obtener una estructura piramidal : e) (2-8)

de base triangular.

f) (r—2s)” e $ A : 4, Determina lo solicitado para cada binomio. TO 20 E

a) El primero y último término del desarrollo de:

b) Escribe los números triangulares que : (x-ay corresponden a cada figura. : b) El primero y último término del desarrollo de: ee e : (0-25 Se, AAA : €) El segundo término del desarrollo de: c..... : oy-3y ©) Escribe el número tetraédrico que corres- + 4) El quinto término del desarrollo de: ponde a la siguiente figura. : (2+4a)"

e) El cuarto término en el desarrollo de: (y)

f) El último término en el desarrollo: (2-18

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