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Teorema del binomio

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$(x+2y)^7=x^7+14x^6y+84x^5y^2+280x^4y^3+560x^3y^4+672x^2y^5+448xy^6+128y^7$

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 113

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Teorema del binomio

El teorema del binomio permite desarrollar directamente una potencia de la forma $(a+b)^n$ . El desarrollo tiene $n+1$ términos y puede expresarse mediante:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Los coeficientes corresponden a las filas del triángulo de Pascal. En cada término, los exponentes de $a$ y $b$ suman $n$ ; el exponente de $a$ disminuye de uno en uno y el de $b$ aumenta de uno en uno.

Los desarrollos iniciales son:

$(a+b)^0=1$ $(a+b)^1=a+b$ $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ $(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$

Ejemplo: desarrollar $(x+2y)^7$

Como el exponente es $7$ , el desarrollo tendrá $7+1=8$ términos.
Los coeficientes de la fila 7 del triángulo de Pascal son $1,7,21,35,35,21,7,1$ .
Se escribe cada término disminuyendo el exponente de $x$ y aumentando el de $2y$ :

$\begin{aligned} (x+2y)^7={}&x^7+7x^6(2y)+21x^5(2y)^2+35x^4(2y)^3\\ &+35x^3(2y)^4+21x^2(2y)^5+7x(2y)^6+(2y)^7 \end{aligned}$

Se simplifican las potencias de $2y$ :

$\begin{aligned} (x+2y)^7={}&x^7+14x^6y+84x^5y^2+280x^4y^3\\ &+560x^3y^4+672x^2y^5+448xy^6+128y^7 \end{aligned}$

Si el binomio tiene signo negativo, los signos de los términos se alternan.

Contenido de la página

Ideas principales

El teorema del binomio de Newton permite desarrollar $(a+b)^n$ .
El desarrollo posee $n+1$ términos.
Comienza con $a^n$ y termina con $b^n$ .
En cada término, los exponentes de $a$ y $b$ suman $n$ .
Los coeficientes presentan simetría y coinciden con los valores del triángulo de Pascal.
Para $(x+2y)^7$ , se utilizan los coeficientes $1,7,21,35,35,21,7,1$ .

Fórmula general

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

Ejemplos resueltos

Desarrollar $(x+2y)^7$ .

El desarrollo tiene $8$ términos y utiliza los coeficientes $1,7,21,35,35,21,7,1$ . Por tanto, $(x+2y)^7=x^7+14x^6y+84x^5y^2+280x^4y^3+560x^3y^4+672x^2y^5+448xy^6+128y^7.$

Fórmulas y ecuaciones

Número de términos: $n+1$

Suma de exponentes en cada término: $n$

Coeficiente general: $\binom{n}{k}$

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}@@MATH_0@@a^{n-k}b^k$

$(x+2y)^7=x^7+14x^6y+84x^5y^2+280x^4y^3+560x^3y^4+672x^2y^5+448xy^6+128y^7$

Glosario (4)

Binomio: Expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos términos.
Coeficiente: Número que multiplica a una variable o a un término algebraico.
Triángulo de Pascal: Arreglo triangular de números cuyos valores proporcionan los coeficientes de los desarrollos binomiales.
Desarrollo: Expresión equivalente que resulta al aplicar una potencia o una operación algebraica.

Temas y conceptos clave

Teorema del binomio de NewtonPatrones de los desarrollos binomialesTriángulo de PascalDesarrollo de $(x+2y)^7$Un binomio elevado a $n$ tiene $n+1$ términosLos exponentes de las variables suman $n$ en cada términoLos coeficientes se obtienen del triángulo de PascalLos exponentes de la primera variable disminuyenLos exponentes de la segunda variable aumentanCon signo negativo, los signos se alternan

Fuentes y referencias

https://lynk.ec/9m09

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se aplica el teorema del binomio de Newton?

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¿Cuántos términos tiene el desarrollo de un binomio elevado a una potencia?

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¿Cómo se obtienen los coeficientes usando el triángulo de Pascal?

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📌 Antes de leer esto

• Potenciación de números y expresiones algebraicas
• Multiplicación de monomios
• Propiedades de los exponentes
• Términos semejantes

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Aplicación de la fórmula del binomio de Newton en diferentes potencias

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2102 caracteres

Teorema del binomio

El teorema del binomio o de Newton es una fórmula con la cual se pueden escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio (a + b)”.

Para determinar esta fórmula, encontraremos por multiplicación directa los desarrollos de los binomios hasta la quinta potencia.

(a+b) =1

(a+b) =a+b

(a+b) =a’ +2ab+b*

(a+b) =a'+3a’b+3ab’ +b

(a+b)' =a* +4a°b+6a°b’ + 4ab* +b'

(a+b) =a° +5a‘b+10a°b? +10a°b? + Sab! +b°

El análisis del desarrollo de estos binomios nos permite encontrar la formula que aplicaremos:

Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
Para cada valor de n, el desarrollo de (a + b)” empieza con a” y termina con b”. En cada término los exponentes de a y b suman n.
Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.
El primer coeficiente es la unidad. El de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

Ejemplo 2

Desarrollar (x + 2y)’.

Solución

El desarrollo tendrá 8 términos, iniciará con x7 y terminará con 128y’.

Para obtener los coeficientes, tomamos en cuenta la conclusión 4.

47 (2y) + 21x°(2y)? + 35x" (2y) +35 2y)* +21 (2y +7x(2y) +(2yY

x’ +14x°y +84 y? + 280x" y? +560xy +672x "y" + 448xy" +128y”

Recuerda que...

En los coeficientes de los términos del desarrollo de los binomios, la simetría que se obtiene es similar a los números dispuestos en el triángulo de Pascal.

Si el binomio tiene signo negativo,

en el desarrollo se colocan los signos alternadamente.

1 ————+ (x+y VIA (1

coin eee) AS (AA (e)

1 5 10 10 5 1—> (x+y) 1 6 15 20 15 6 1-> (x+y)

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