Volumen y área de cuerpos geométricos

Resolución

Ejercicio e

El cilindro tiene radio r=17\text{ cm} y altura h=48\text{ cm}. Su volumen es: V=\pi r^2h V=\pi(17)^2(48)=13872\pi\text{ cm}^3 Aproximadamente, V\approx 43580{,}53\text{ cm}^3.

a) El cuerpo inscrito es una pirámide cuya base y altura corresponden a las del cubo. Por tanto, su volumen es la tercera parte del volumen del cubo: V=\frac{1}{3}(64)=\frac{64}{3}\text{ m}^3\approx21{,}33\text{ m}^3

b) El lado del cubo es: l=\sqrt[3]{5832}=18\text{ cm} El cono tiene altura h=18\text{ cm} y radio r=9\text{ cm}: V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(9)^2(18)=486\pi\text{ cm}^3 Aproximadamente, V\approx1526{,}81\text{ cm}^3.

c) El lado del cubo es: l=\sqrt[3]{343}=7\text{ dm} La esfera inscrita tiene diámetro 7\text{ dm}, por lo que r=3{,}5\text{ dm}: V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(3{,}5)^3=\frac{343\pi}{6}\text{ dm}^3 Aproximadamente, V\approx179{,}59\text{ dm}^3.

Todos los cuerpos tienen diámetro 10\text{ cm}, así que r=5\text{ cm} y, en el cono y el cilindro, h=10\text{ cm}.

Cono: V_c=\frac{1}{3}\pi(5)^2(10)=\frac{250\pi}{3}\text{ cm}^3

Esfera: V_e=\frac{4}{3}\pi(5)^3=\frac{500\pi}{3}\text{ cm}^3

Cilindro: V_{cil}=\pi(5)^2(10)=250\pi\text{ cm}^3

Se comprueba que: V_c=\frac{1}{3}V_{cil} V_e=\frac{2}{3}V_{cil}=2V_c

El cono tiene radio R=5\text{ m} y altura H=12\text{ m}. El cilindro tiene radio r=\frac{10}{3}\text{ m} y altura h=4\text{ m}.

Volumen del cono: V_{cono}=\frac{1}{3}\pi(5)^2(12)=100\pi\text{ m}^3

Volumen del cilindro: V_{cil}=\pi\left(\frac{10}{3}\right)^2(4)=\frac{400\pi}{9}\text{ m}^3

Volumen libre: V_{libre}=V_{cono}-V_{cil}=100\pi-\frac{400\pi}{9}=\frac{500\pi}{9}\text{ m}^3 Aproximadamente, V_{libre}\approx174{,}53\text{ m}^3.

El recipiente cilíndrico tiene diámetro 5\text{ cm}, radio 2{,}5\text{ cm} y altura 8\text{ cm}: V_{recipiente}=\pi(2{,}5)^2(8)=50\pi\text{ cm}^3

Cada cápsula está formada por un cilindro de radio 3\text{ mm} y longitud 15\text{ mm}, más una esfera de radio 3\text{ mm}: V_{capsula}=\pi(3)^2(15)+\frac{4}{3}\pi(3)^3 V_{capsula}=135\pi+36\pi=171\pi\text{ mm}^3 Como 1\text{ cm}^3=1000\text{ mm}^3: V_{capsula}=\frac{171\pi}{1000}\text{ cm}^3

Para 200 cápsulas: V_{200}=200\left(\frac{171\pi}{1000}\right)=34{,}2\pi\text{ cm}^3 Como 34{,}2\pi<50\pi, las 200 cápsulas sí caben, considerando únicamente el volumen.

Datos: generatriz g=10\text{ cm} y radio r=5\text{ cm}. Primero se calcula la altura mediante el teorema de Pitágoras: h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{ cm}

Área total del cono: A_T=\pi r^2+\pi rg A_T=\pi(5)^2+\pi(5)(10)=75\pi\text{ cm}^2

Volumen: V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi(5)^2(5\sqrt{3})=\frac{125\sqrt{3}\pi}{3}\text{ cm}^3

El diámetro de A es la mitad del diámetro de B, por lo tanto r_A=\frac{1}{2}r_B. Como los volúmenes son iguales: \pi r_A^2h_A=\pi r_B^2h_B \pi\left(\frac{r_B}{2}\right)^2h_A=\pi r_B^2h_B \frac{1}{4}h_A=h_B h_A=4h_B La opción correcta es b.

El volumen de un cono truncado es: V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)

Problema propuesto: Un cono truncado tiene radios R=6\text{ cm} y r=3\text{ cm}, y altura h=10\text{ cm}. Calcular su volumen.

Resolución: V=\frac{\pi(10)}{3}(6^2+6\cdot3+3^2) V=\frac{10\pi}{3}(36+18+9)=\frac{630\pi}{3}=210\pi\text{ cm}^3 Por tanto, el volumen es aproximadamente 659{,}73\text{ cm}^3.