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Problemas propuestos: línea diagonal de prismas y cubos

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$30\ \text{cm}$ .
$4\sqrt{262}\ \text{cm}\approx64,74\ \text{cm}$ .
$10\sqrt{29}\ \text{cm}\approx53,85\ \text{cm}$ .
$3\sqrt{3}\ \text{cm}\approx5,20\ \text{cm}$ .
$2\sqrt{89}\ \text{cm}\approx18,87\ \text{cm}$ .
$8\sqrt{34}\ \text{cm}\approx46,19\ \text{cm}$ .
$12\sqrt{5}\ \text{cm}\approx26,83\ \text{cm}$ .
$15\sqrt{5}\ \text{cm}\approx33,54\ \text{cm}$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 121

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Para hallar la línea diagonal espacial de un prisma se usa:

$d=\sqrt{d_b^2+h^2}$

donde $d_b$ es la diagonal de la base y $h$ es la altura. En un prisma hexagonal regular, la diagonal mayor de la base mide $2a$ ; en un prisma cuadrangular de base cuadrada mide $a\sqrt{2}$ ; y en un cubo la diagonal espacial es $a\sqrt{3}$ .

Ejercicio 1

Prisma hexagonal:** $a=12\ \text{cm}$ y $h=18\ \text{cm}$.

Comprender: se busca la diagonal espacial.
Estrategia: la diagonal mayor de la base es $d_b=2(12)=24\ \text{cm}$ .
Aplicar:

$d=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30\ \text{cm}$

Responder: la línea diagonal mide $30\ \text{cm}$ .

Ejercicio 2

Prisma cuadrangular:** $a=36\ \text{cm}$ y $h=40\ \text{cm}$.

Comprender: se busca la diagonal espacial de un prisma de base cuadrada.
Estrategia: $d_b=a\sqrt{2}=36\sqrt{2}\ \text{cm}$ .
Aplicar:

$d=\sqrt{(36\sqrt{2})^2+40^2}=\sqrt{2592+1600}=\sqrt{4192}=4\sqrt{262}\ \text{cm}$

Responder: la línea diagonal mide aproximadamente $64,74\ \text{cm}$ .

Ejercicio 3

Prisma rectangular:** lados de la base $12\ \text{cm}$ y $16\ \text{cm}$; $h=50\ \text{cm}$.

Comprender: se busca la diagonal espacial de un prisma rectangular.
Estrategia: primero se calcula la diagonal de la base.
Aplicar:

$d_b=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=20\ \text{cm}$

$d=\sqrt{20^2+50^2}=\sqrt{400+2500}=\sqrt{2900}=10\sqrt{29}\ \text{cm}$

Responder: la línea diagonal mide aproximadamente $53,85\ \text{cm}$ .

Ejercicio 4

Cubo:** $a=3\ \text{cm}$.

Comprender: se busca la diagonal espacial del cubo.
Estrategia: se usa la fórmula $d=a\sqrt{3}$ .
Aplicar:

$d=3\sqrt{3}\ \text{cm}$

Responder: la línea diagonal mide aproximadamente $5,20\ \text{cm}$ .

Ejercicio 5

Prisma hexagonal:** $a=8\ \text{cm}$ y $h=10\ \text{cm}$.

Comprender: se busca la diagonal espacial.
Estrategia: la diagonal mayor de la base es $d_b=2(8)=16\ \text{cm}$ .
Aplicar:

$d=\sqrt{16^2+10^2}=\sqrt{256+100}=\sqrt{356}=2\sqrt{89}\ \text{cm}$

Responder: la línea diagonal mide aproximadamente $18,87\ \text{cm}$ .

Ejercicio 6

Prisma cuadrangular:** $a=24\ \text{cm}$ y $h=32\ \text{cm}$.

Comprender: se busca la diagonal espacial de un prisma de base cuadrada.
Estrategia: $d_b=24\sqrt{2}\ \text{cm}$ .
Aplicar:

$d=\sqrt{(24\sqrt{2})^2+32^2}=\sqrt{1152+1024}=\sqrt{2176}=8\sqrt{34}\ \text{cm}$

Responder: la línea diagonal mide aproximadamente $46,19\ \text{cm}$ .

Ejercicio 7

Prisma hexagonal:** $a=6\ \text{cm}$ y $h=24\ \text{cm}$.

Comprender: se busca la diagonal espacial.
Estrategia: la diagonal mayor de la base es $d_b=2(6)=12\ \text{cm}$ .
Aplicar:

$d=\sqrt{12^2+24^2}=\sqrt{144+576}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}\ \text{cm}$

Responder: la línea diagonal mide aproximadamente $26,83\ \text{cm}$ .

Ejercicio 8

Prisma pentagonal:** diagonal de la base $d_b=15\ \text{cm}$ y $h=30\ \text{cm}$.

Comprender: se conoce directamente la diagonal de la base.
Estrategia: aplicar la fórmula de la diagonal espacial.
Aplicar:

$d=\sqrt{15^2+30^2}=\sqrt{225+900}=\sqrt{1125}=15\sqrt{5}\ \text{cm}$

Responder: la línea diagonal mide aproximadamente $33,54\ \text{cm}$ .

Contenido de la página

Problemas propuestos

La diagonal espacial de un prisma se calcula relacionando la diagonal de su base con la altura mediante:

$d=\sqrt{d_b^2+h^2}$

Para los prismas considerados:

Prisma hexagonal regular: la diagonal mayor de la base es $2a$ .
Prisma cuadrangular de base cuadrada: la diagonal de la base es $a\sqrt{2}$ .
Prisma rectangular: la diagonal de la base es $\sqrt{l^2+w^2}$ .
Cubo: la diagonal espacial es $a\sqrt{3}$ .

Ejemplos resueltos

Calcula la diagonal espacial de un prisma hexagonal regular con arista de base de $12\ \text{cm}$ y altura de $18\ \text{cm}$ .

La diagonal mayor de la base es $d_b=2(12)=24\ \text{cm}$ . Entonces:

$d=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{900}=30\ \text{cm}$

Fórmulas y ecuaciones

$d=\sqrt{d_b^2+h^2}$

$d_{\text{cubo}}=a\sqrt{3}$

d= $\sqrt{d_b^2+h^2}$

$d_b=2a$

$d_b=a$ $\sqrt{2}$

$d_b=$ $\sqrt{l^2+w^2}$

d=a $\sqrt{3}$

Glosario (4)

Diagonal espacial: Segmento que une dos vértices no pertenecientes a una misma cara de un cuerpo geométrico.
Diagonal de la base: Segmento que une dos vértices no consecutivos de la base de un prisma.
Arista: Segmento donde se encuentran dos caras de un cuerpo geométrico.
Prisma: Cuerpo geométrico con dos bases iguales y paralelas, unidas por caras laterales.

Temas y conceptos clave

Diagonal espacial de prismasDiagonal de la baseAplicación del teorema de Pitágoras en tres dimensionesLínea diagonal espacialDiagonal de la baseAltura del prismaTeorema de PitágorasPrisma regularCubo

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la diagonal espacial de un prisma?

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¿Cuál es la fórmula de la diagonal de un cubo?

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¿Cómo hallar la diagonal de la base de un prisma?

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📌 Antes de leer esto

• Aplicar el teorema de Pitágoras
• Calcular cuadrados y raíces cuadradas
• Reconocer diagonales de cuadrados y rectángulos
• Identificar las dimensiones de un prisma

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras en cuerpos geométricos

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Problemas propuestos

Calcula la medida de la línea diagonal de un pris- ma hexagonal que va de un vértice superior a uno inferior. La arista de la base del prisma mide 12 cm y la altura, 18 cm.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. €) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Calcula la medida de la línea diagonal de un pris- ma cuadrangular que va de un vértice superior a uno inferior. La arista de la base del prisma mide 36 cm y la altura, 40 cm.

a) Comprender el problema. fb) Plantear la estrategia. €) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Calcula la medida de la línea diagonal de un pris- ma rectangular que va de un vértice superior a uno inferior, si los lados de la base del prisma miden

12 x 16 cm y tiene una altura de 50 cm.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. ¢) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Calcula la medida de la línea diagonal de un cubo que va de un vértice superior a uno inferior, si su arista mide 3 cm.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. €) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Calcula la medida de la línea diagonal de un pris- ma hexagonal que va de un vértice superior a uno inferior. La arista de la base del prisma mide 8 cm y la altura, 10 cm.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. e) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Calcula la medida de la línea diagonal de un pris- ma cuadrangular que va de un vértice superior a uno inferior. La arista de la base del prisma mide 24 cm y la altura, 32 cm.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. €) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Calcula la medida de la línea diagonal de un pris- ma hexagonal que va de un vértice superior a uno inferior, si la arista de la base del prisma mide 6 cm y tiene una altura de 24 cm.

a) Comprender el problema. fo) Plantear la estrategia. e) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

Calcula la medida de la línea diagonal de un pris- ma pentagonal que va de un vértice superior a uno inferior, si la diagonal de la base del prisma mide 15 cm y tiene una altura de 30 cm.

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia. €) Aplicar la estrategia.

d) Responder.

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