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Estrategia: hacer un gráfico tridimensional

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Prisma cuadrangular: $D=20\sqrt{11}\ \text{cm}$ .
Prisma hexagonal: $D=2\sqrt{13}\ \text{m}$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 120

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Estrategia general

Para calcular la diagonal espacial de un prisma, se construye un gráfico en perspectiva y se identifican dos triángulos rectángulos. Primero se calcula la diagonal de la base; luego, esa diagonal se utiliza como cateto de un segundo triángulo rectángulo junto con la altura del prisma.

Ejercicio 1

prisma cuadrangular

Datos:

Arista de la base: $20\ \text{cm}$ .
Altura: $60\ \text{cm}$ .

Ejercicio 1

Diagonal de la base

La base es un cuadrado de lado $20\ \text{cm}$ . Aplicando el teorema de Pitágoras:

$d=\sqrt{(20\ \text{cm})^2+(20\ \text{cm})^2}$

$d=\sqrt{400+400}\ \text{cm}=\sqrt{800}\ \text{cm}=20\sqrt{2}\ \text{cm}$

Ejercicio 2

Diagonal del prisma

La diagonal de la base y la altura forman un nuevo triángulo rectángulo:

$D=\sqrt{(60\ \text{cm})^2+(20\sqrt{2}\ \text{cm})^2}$

$D=\sqrt{3600+800}\ \text{cm}=\sqrt{4400}\ \text{cm}=20\sqrt{11}\ \text{cm}$

Respuesta

la diagonal del prisma cuadrangular mide $20\sqrt{11}\ \text{cm}$ .

Ejercicio 2

prisma hexagonal

Datos:

Arista del hexágono regular: $2\ \text{m}$ .
Altura: $6\ \text{m}$ .

En un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita es igual a la medida del lado. Por tanto, el diámetro de la base es:

$d=2r=2(2\ \text{m})=4\ \text{m}$

La diagonal espacial se calcula con el teorema de Pitágoras:

$D=\sqrt{(4\ \text{m})^2+(6\ \text{m})^2}$

$D=\sqrt{16+36}\ \text{m}=\sqrt{52}\ \text{m}=2\sqrt{13}\ \text{m}$

Respuesta

la diagonal del prisma hexagonal mide $2\sqrt{13}\ \text{m}$ .

Contenido de la página

Idea principal

Un gráfico tridimensional permite visualizar la diagonal espacial de un prisma. Esta diagonal se obtiene aplicando dos veces el teorema de Pitágoras: primero en la base y luego entre la diagonal de la base y la altura.

Caso cuadrangular

Para una base cuadrada de lado $20\ \text{cm}$ , la diagonal de la base es $20\sqrt{2}\ \text{cm}$ . Con una altura de $60\ \text{cm}$ , la diagonal espacial es $20\sqrt{11}\ \text{cm}$ .

Caso hexagonal

En un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado. Si el lado mide $2\ \text{m}$ , el diámetro de la base mide $4\ \text{m}$ . Con una altura de $6\ \text{m}$ , la diagonal espacial es $2\sqrt{13}\ \text{m}$ .

Ejemplos resueltos

Calcular la diagonal espacial de un prisma cuadrangular cuya base tiene lados de $20\ \text{cm}$ y cuya altura mide $60\ \text{cm}$ .

La diagonal de la base es $d=\sqrt{20^2+20^2}=20\sqrt{2}\ \text{cm}$ . Luego, la diagonal espacial es $D=\sqrt{60^2+(20\sqrt{2})^2}=20\sqrt{11}\ \text{cm}$ .

Calcular la diagonal espacial de un prisma hexagonal regular cuyo lado mide $2\ \text{m}$ y cuya altura mide $6\ \text{m}$ .

El diámetro de la base es $d=2(2)=4\ \text{m}$ . Entonces, $D=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\ \text{m}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$D=\sqrt{h^2+d^2}$

$d=2r$ en un hexágono regular cuando $r$ es igual a la medida del lado

d= $\sqrt{a^2+b^2}$

D= $\sqrt{h^2+d^2}$

d=2r

Glosario (4)

Diagonal espacial: Segmento que une dos vértices no pertenecientes a una misma cara de un sólido.
Prisma: Cuerpo geométrico con dos bases iguales y paralelas, unidas por caras laterales.
Radio: Segmento que une el centro de una circunferencia con cualquiera de sus puntos.
Hexágono regular: Polígono de seis lados y seis ángulos iguales.

Temas y conceptos clave

Diagonal espacial de prismasGráficos tridimensionalesTeorema de PitágorasDiagonal de la base de un prismaDiagonal de la baseDiagonal espacialPrisma cuadrangularPrisma hexagonalRadio de un hexágono regularTriángulo rectángulo

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Figuras de la página (3)

Dos triángulos rectángulos que representan la diagonal de la base y la diagonal espacial del prisma cuadrangular. — Figura 2 image

Prisma hexagonal celeste con una diagonal de la base y una diagonal espacial marcadas; la arista mide $2\ \text{m}$ y la altura $6\ \text{m}$. — Figura 3 image

Triángulo rectángulo formado por el diámetro de la base de $4\ \text{m}$, la altura de $6\ \text{m}$ y la diagonal espacial. — Figura 4 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la diagonal espacial de un prisma?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la fórmula de la diagonal de un prisma rectangular?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se obtiene la diagonal de la base de un prisma hexagonal?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer prismas y sus elementos
• Aplicar el teorema de Pitágoras
• Calcular raíces cuadradas
• Identificar propiedades del cuadrado y del hexágono regular

Siguiente tema sugerido

Cálculo de áreas y volúmenes de prismas

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Competencia matemática

Problema resuelto

Calcular la medida de la línea diagonal de un prisma cuadrangular que va de un vértice superior a uno inferior. La arista de la base del prisma mide

_ 20cmy la altura, 60 cm.

Comprender el problema ¿Cuál es la pregunta del problema?

¿De qué cuerpo geométrico se calculará la diago- nal? Prisma cuadrangular .

¿Cuánto mide la arista de la base del prisma? 20 cm ¿Cuánto mide la altura del prisma? 60 m

Fijar una estrategia ¿Cuál es la estrategia de solución?

Realizamos un dibujo en tres dimensiones, es de- cir, lo hacemos con perspectiva. Ahí dibujamos la diagonal y observamos cómo obtener su medida,

Aplicar la estrategia ¿Cómo se aplica la estrategia?

El gráfico permite vi- sualizar dos triángulos rectángulos: uno en la base, donde calculare- mos la diagonal que es el cateto del segundo triángulo, donde está la diagonal requerida.

d 60 cm D cm

d= (20 cm) +(20 cm) =2042 cm

D=,|(60 cm)’ +(20V2 cm) =20V11cm

Responder ¿Llegaste a la solución del problema?

La diagonal mide 20411 cm.

Estrategia: hacer un gráfico tridimensional

Problema resuelto

Calcular la medida de la línea diagonal de un prisma hexagonal que va de un vértice superior a uno inferior. La arista de la base del prisma mide 2 my la altura, 6 m.

Comprender el problema ¿Cuál es la pregunta del problema?

¿De qué cuerpo geométrico se calculará la diagonal? Prisma hexagonal ¿Cuánto mide la arista de la base del prisma? 2m ¿Cuánto mide la altura del prisma? 6m