Cocientes notables: determinación, completación y desarrollo

Se aplican las identidades:

• \frac{A^2-B^2}{A-B}=A+B.
• \frac{A^2-B^2}{A+B}=A-B.
• \frac{A^3-B^3}{A-B}=A^2+AB+B^2.
• \frac{A^3+B^3}{A+B}=A^2-AB+B^2.

Resultados:

a) 2a+5bc.

b) 9xy^2-8z^3.

c) 7ay^2-11z^3.

d) 6m^2n+10q.

e) 0,5w-0,1z.

f) 9m^2+12mn+16n^2.

g) 25x^4-35x^2y^2+49y^4.

h) 36a^6-48a^3b^3+64b^6.

i) 121y^4+110y^2z+100z^2.

j) 4a^{2m}-6a^mb^n+9b^{2n}.

k) 0,16x^{4a}+0,24x^{2a}y^{3a}+0,36y^{6a}.

a) El denominador es 3a^2b-5c^3.

b) El numerador es 27x^6y^3-z^9.

c) El denominador es \frac{1}{7}z^2+\frac{8}{3}p.

d) El denominador es 1+x^2.

e) El numerador es 27-x^9.

f) El numerador es 49a^4-b^2.

a) \frac{x^6-y^6}{x-y}=x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4+y^5.

b) Considerando p^7-(2s^2)^7, se obtiene:

\frac{p^7-128s^{14}}{p-2s^2}=p^6+2p^5s^2+4p^4s^4+8p^3s^6+16p^2s^8+32ps^{10}+64s^{12}.

c) Considerando A=2x y B=3y^2:

\frac{A^5+B^5}{A+B}=A^4-A^3B+A^2B^2-AB^3+B^4.

Por tanto:

\frac{32x^5+243y^{10}}{2x+3y^2}=16x^4-24x^3y^2+36x^2y^4-54xy^6+81y^8.

a) Sí es notable, porque es una diferencia de cuadrados.

b) Sí es notable, porque es una diferencia de potencias impares: \frac{(2x^2)^5-1^5}{2x^2-1}.

c) No es notable, porque el numerador es una diferencia de cubos y el denominador es una suma de sus raíces.

d) No es notable, porque 4x^6+y^2 es una suma de cuadrados y no tiene el factor 2x^3+y.

Como a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2, por diferencia de cuadrados:

a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b).

Al dividir entre \sqrt a-\sqrt b:

\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}=\sqrt a+\sqrt b.

También, al dividir entre \sqrt a+\sqrt b:

\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}=\sqrt a-\sqrt b.

Estas igualdades son válidas cuando las raíces están definidas y los denominadores son diferentes de cero.

Si el exponente es par, n=2k, entonces al sustituir una raíz por el opuesto se obtiene:

a^n+(-a)^n=a^n+a^n=2a^n\neq 0.

Por eso a+b no es un factor general de a^n+b^n cuando n es par. En cambio, si n es impar, a^n+(-a)^n=0, y por ello a+b sí divide a a^n+b^n.