Realiza (-7/2m^3+1/2m+13/4m^2-2+1/2m^5-1/4m^4)÷(m-2).

Q(m)=1/2m^4+3/4m^3-2m^2-3/4m-1, R=-4

Realiza (1+0.75x^2-0.5x^5+3x^3)÷(x+3).

Q(x)=-1/2x^4+3/2x^3-3/2x^2+21/4x-63/4, R=193/4

Realiza (6m^3-3m^5+15)÷(m+3).

Q(m)=-3m^4+9m^3-21m^2+63m-189, R=582

Realiza (12x^4-4x^2+10)÷(x-5).

Q(x)=12x^3+60x^2+56x+280, R=1410

Realiza (x^5-32x^2)÷(x-2).

Q(x)=x^4+2x^3+4x^2-24x-48, R=-96

Selecciona el cociente y residuo de (2x^3-6x^2+2x-1)÷(x-2).

Q(x)=2x^2-2x-2, R=-5; opción C

Selecciona el cociente y residuo de (4x^3-x^2-5)÷(x+3).

Q(x)=4x^2-13x+39, R=-122; opción A

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ordenación de polinomios y división sintética

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

1. a) $x^4-5x^3-6x^2-8x+6$ ; b) $y^7+0y^6+0y^5+16y^4+4y^3-5y^2+0y-7$ ; c) $a^5-4a^4+7a^3+0a^2+18a-6$ ; d) $-3m+4+2m^{-1}-6m^{-2}+m^{-4}$ .

2. a) $Q=6x^3+21x^2+61x+187$ , $R=555$ ; b) $Q=3y^2-24y+148$ , $R=-892$ ; c) $Q=n^3+4n^2+24n-16$ , $R=-108$ .

3. a) $Q=3a^2-6a+8$ , $R=0$ ; b) $Q=-6x^3+4x-1$ , $R=0$ ; c) $Q=\frac{1}{2}m^4+\frac{3}{4}m^3-2m^2-\frac{3}{4}m-1$ , $R=-4$ ; d) $Q=-\frac{1}{2}x^4+\frac{3}{2}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{21}{4}x-\frac{63}{4}$ , $R=\frac{193}{4}$ ; e) $Q=\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{9}x$ , $R=1$ ; f) $Q=-3m^4+9m^3-21m^2+63m-189$ , $R=582$ ; g) $Q=12x^3+60x^2+56x+280$ , $R=1410$ ; h) $Q=x^4+2x^3+4x^2-24x-48$ , $R=-96$ .

4. a) C; b) A.

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Solución — Página 142

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Ordenación descendente y completación

Se escriben los términos desde el exponente mayor hasta el menor, incluyendo coeficiente $0$ cuando falta algún término.

a) $x^4-5x^3-6x^2-8x+6$ .

b) $y^7+0y^6+0y^5+16y^4+4y^3-5y^2+0y-7$ .

c) $a^5-4a^4+7a^3+0a^2+18a-6$ .

d) Considerando los exponentes en orden descendente: $-3m+4+2m^{-1}+0m^{-2}+0m^{-3}-6m^{-2}+m^{-4}$ . La expresión original, ordenada sin repetir términos, es $-3m+4+2m^{-1}-6m^{-2}+m^{-4}$ .

Ejercicio 2

División sintética

En cada caso se usa como número de la división sintética la raíz del divisor: $3$ , $-6$ y $6$ , respectivamente.

a) Los coeficientes son $6,3,-2,4,-6$ . El resultado es $6x^3+21x^2+61x+187$ y el residuo es $555$ .

b) Los coeficientes son $3,-6,4,-4$ y se usa $-6$ . El resultado es $3y^2-24y+148$ y el residuo es $-892$ .

c) Los coeficientes son $1,-2,0,-160,-12$ y se usa $6$ . El resultado es $n^3+4n^2+24n-16$ y el residuo es $-108$ .

Ejercicio 3

Divisiones

a) Con raíz $-7$ : $3,15,-34,56\to 3,-6,8,0$ . Por tanto, el cociente es $3a^2-6a+8$ y el residuo es $0$ .

b) Con raíz $5$ : $-6,30,4,-21,5\to -6,0,4,-1,0$ . El cociente es $-6x^3+4x-1$ y el residuo es $0$ .

c) Con raíz $2$ : $\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{7}{2},\frac{13}{4},\frac{1}{2},-2\to \frac{1}{2},\frac{3}{4},-2,-\frac{3}{4},-1,-4$ . El cociente es $\frac{1}{2}m^4+\frac{3}{4}m^3-2m^2-\frac{3}{4}m-1$ y el residuo es $-4$ .

d) Con raíz $-3$ : $-\frac{1}{2},0,3,\frac{3}{4},0,1\to -\frac{1}{2},\frac{3}{2},-\frac{3}{2},\frac{21}{4},-\frac{63}{4},\frac{193}{4}$ . El cociente es $-\frac{1}{2}x^4+\frac{3}{2}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{21}{4}x-\frac{63}{4}$ y el residuo es $\frac{193}{4}$ .

e) Con raíz $\frac{1}{3}$ : $\frac{1}{3},-\frac{2}{9},\frac{1}{27},0,1\to \frac{1}{3},-\frac{1}{9},0,1$ . El cociente es $\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{9}x$ y el residuo es $1$ .

f) Primero se ordena el polinomio como $-3m^5+6m^3+15$ . Con raíz $-3$ , el cociente es $-3m^4+9m^3-21m^2+63m-189$ y el residuo es $582$ .

g) Con raíz $5$ , los coeficientes $12,0,-4,0,10$ producen $12,60,56,280,1410$ . El cociente es $12x^3+60x^2+56x+280$ y el residuo es $1410$ .

h) Con raíz $2$ , los coeficientes $1,0,0,-32,0,0$ producen $1,2,4,-24,-48,-96$ . El cociente es $x^4+2x^3+4x^2-24x-48$ y el residuo es $-96$ .

Ejercicio 4

Problema-decisión

a) Para dividir $2x^3-6x^2+2x-1$ entre $x-2$ , se usa $2$ : $2,-6,2,-1\to 2,-2,-2,-5$ . La opción correcta es C.

b) Para dividir $4x^3-x^2-5$ entre $x+3$ , se usa $-3$ : $4,-1,0,-5\to 4,-13,39,-122$ . La opción correcta es A.

Contenido de la página

Ordenación de polinomios

Un polinomio se ordena de forma descendente cuando sus términos se escriben desde el exponente mayor hasta el menor. Si falta una potencia, se puede colocar su término con coeficiente $0$ .

División sintética

Para dividir entre $x-c$ , se utiliza el número $c$ . Para dividir entre $x+c$ , se utiliza $-c$ . Se baja el primer coeficiente, se multiplica por la raíz y se suma al siguiente coeficiente. El último número obtenido es el residuo; los anteriores forman los coeficientes del cociente.

Interpretación del resultado

Si el residuo es $0$ , la división es exacta y el divisor es un factor del polinomio. Si el residuo es diferente de $0$ , la división no es exacta.

Ejemplos resueltos

Divide $2x^3-6x^2+2x-1$ entre $x-2$ .

Se usa $2$ en la división sintética: $2,-6,2,-1\to 2,-2,-2,-5$ . Por tanto, $Q(x)=2x^2-2x-2$ y $R=-5$ .

Ordena y completa $18a+7a^3-4a^4-6+a^5$ .

Se escriben las potencias desde $a^5$ hasta el término independiente: $a^5-4a^4+7a^3+0a^2+18a-6$ .

Fórmulas y ecuaciones

$P(x)=(x-c)Q(x)+R$

Si $R=0$ , entonces $x-c$ es factor de $P(x)$ .

$P(x)=(x-c)Q(x)+R$

$R=P(c)$

Glosario (5)

Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma o resta de varios monomios.
Cociente: Resultado principal obtenido al dividir un polinomio entre otro.
Residuo: Término que queda después de efectuar una división de polinomios.
División sintética: Procedimiento abreviado para dividir un polinomio entre un divisor lineal.
Raíz del divisor: Número que se obtiene al igualar a cero el divisor lineal.

Temas y conceptos clave

Ordenación descendente de polinomiosCompletación de polinomiosDivisión sintéticaCociente y residuoSelección de resultadosExponente descendenteCoeficiente ceroRaíz del divisorCocienteResiduo

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