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Factor común y factorización por agrupación

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ejemplo 3: $(a-b)z\left(xy^{2}+yz-(a-b)xz^{2}\right)$

Ejemplo 4: $(x+4)(6x+5a)$

Ejemplo 5: $(2x-3)(6x^{2}-1)$

La factorización permite expresar polinomios como productos y facilita la simplificación y resolución de problemas algebraicos.

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 145

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Factorización por factor común y agrupación

Ejemplo 3

Se factoriza el polinomio:

$(a-b)xy^{2}z+(a-b)yz^{2}-(a-b)^{2}xz^{3}$

El factor común es $(a-b)z$ . Al dividir cada término para este factor:

$\frac{(a-b)xy^{2}z}{(a-b)z}=xy^{2}$

$\frac{(a-b)yz^{2}}{(a-b)z}=yz$

$\frac{-(a-b)^{2}xz^{3}}{(a-b)z}=-(a-b)xz^{2}$

Por tanto:

$(a-b)xy^{2}z+(a-b)yz^{2}-(a-b)^{2}xz^{3}=(a-b)z\left(xy^{2}+yz-(a-b)xz^{2}\right)$

Cuando se introduce un paréntesis precedido por un signo negativo, cambian los signos de sus términos. Por ejemplo:

$-8x^{2}-3x=-(8x^{2}+3x)$

Ejemplo 4

Se factoriza:

$6x^{2}+24x+5ax+20a$

Se agrupan los términos que tienen factores comunes:

$(6x^{2}+24x)+(5ax+20a)$

Se extrae el factor común de cada grupo:

$6x(x+4)+5a(x+4)$

Ahora $(x+4)$ es factor común de los dos términos:

$6x(x+4)+5a(x+4)=(x+4)(6x+5a)$

Por consiguiente:

$6x^{2}+24x+5ax+20a=(x+4)(6x+5a)$

Ejemplo 5

Se factoriza:

$12x^{3}-2x+3-18x^{2}$

Se agrupan el primer término con el cuarto y el segundo con el tercero, conservando correctamente los signos:

$(12x^{3}-18x^{2})-(2x-3)$

Se extrae el factor común de cada grupo:

$6x^{2}(2x-3)-(2x-3)$

El factor común es $(2x-3)$ :

$(2x-3)(6x^{2}-1)$

Así, la factorización final es:

$12x^{3}-2x+3-18x^{2}=(2x-3)(6x^{2}-1)$

Respuesta a la indagación

Dentro de las matemáticas, la factorización se utiliza para escribir expresiones algebraicas como productos de factores más sencillos. Esto facilita la simplificación de expresiones, la resolución de ecuaciones, el análisis de polinomios y el cálculo de raíces o valores donde una expresión se hace cero.

Contenido de la página

Idea principal

Para factorizar un polinomio se busca un factor común en todos sus términos. Si no existe un factor común para todo el polinomio, se pueden agrupar términos y extraer factores comunes en cada grupo.

Regla de los signos

Al extraer un signo negativo, los signos de los términos que quedan dentro del paréntesis cambian:

$-8x^{2}-3x=-(8x^{2}+3x)$

Procedimiento por agrupación

Agrupar términos con factores comunes.
Extraer el factor común de cada grupo.
Identificar el factor común que aparece en los grupos.
Escribir la factorización final como un producto.
Verificar multiplicando los factores obtenidos.

Ejemplos resueltos

Extraer el factor común de $(a-b)xy^{2}z+(a-b)yz^{2}-(a-b)^{2}xz^{3}$ .

El factor común es $(a-b)z$ . Al dividir cada término para este factor, queda $xy^{2}+yz-(a-b)xz^{2}$ . Por tanto, la factorización es $(a-b)z\left(xy^{2}+yz-(a-b)xz^{2}\right)$ .

Factorizar $6x^{2}+24x+5ax+20a$ .

Agrupamos: $(6x^{2}+24x)+(5ax+20a)$ . Luego: $6x(x+4)+5a(x+4)$ . El factor común es $(x+4)$ , por lo que el resultado es $(x+4)(6x+5a)$ .

Factorizar $12x^{3}-2x+3-18x^{2}$ .

Agrupamos: $(12x^{3}-18x^{2})-(2x-3)$ . Extraemos factores: $6x^{2}(2x-3)-(2x-3)$ . Finalmente, factorizamos $(2x-3)$ y obtenemos $(2x-3)(6x^{2}-1)$ .

Fórmulas y ecuaciones

Si todos los términos contienen $F$ , entonces $FA+FB=F(A+B)$ .

Si se extrae $-1$ , los signos dentro del paréntesis cambian.

$(a-b)xy^{2}z+(a-b)yz^{2}-(a-b)^{2}xz^{3}=(a-b)z\left(xy^{2}+yz-(a-b)xz^{2}\right)$

$6x^{2}+24x+5ax+20a=(x+4)(6x+5a)$

$12x^{3}-2x+3-18x^{2}=(2x-3)(6x^{2}-1)$

Glosario (4)

Factor común: Expresión que divide exactamente a todos los términos de un polinomio.
Factorización: Proceso de expresar una suma o diferencia algebraica como un producto de factores.
Agrupación: Organización de los términos de un polinomio en grupos para encontrar factores comunes.
Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma o resta de varios términos.

Preguntas para practicar

¿Qué debes hacer si un polinomio no tiene un factor común en todos sus términos?

¿Por qué cambian los signos al extraer un factor negativo?

¿Cómo puedes comprobar que una factorización es correcta?

Temas y conceptos clave

Extracción de factor comúnFactorización por agrupaciónManejo de signos al sacar un factor negativoAplicaciones de la factorizaciónFactor comúnAgrupación de términosPropiedad distributivaFactorizaciónVerificación mediante multiplicación

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se extrae el factor común de un polinomio?

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¿Cómo se factoriza un polinomio por agrupación?

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¿Para qué sirve la factorización en matemáticas?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer términos y factores de un polinomio
• Aplicar la propiedad distributiva
• Operar con monomios
• Manejar correctamente los signos

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Diferencia de cuadrados y trinomios factorizables

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Ejemplo 3

Extraer el factor común de (a—b)xy?z+(a=b)yz* -(a=b) xz’,

Solución

El factor común es (a=b)z, Dividimos el polinomio para él y obtenemos:

(a—b)xy’z+(a-b)yz’ -(a-bY x2?= (a—b)z(xy? + yz— xz’):

En algunos polinomios es necesario hacer agrupaciones para extraer el factor común de entre sus elementos; luego de esto, es probable que exista otro factor común, De ser así, el polinomio queda factorizado por agrupación.

Ejemplo 4

Factorizar el polinomio 6x? + 24x + 5ax + 20a Solución

El primer y segundo términos tienen la variable x en común, mientras que el tercer y cuarto términos tienen en común la constante a. Por lo tanto, los agrupamos de dos en dos.

(6x? + 24x) + (Sax + 20a)

Extraemos factor común en cada grupo. 6x(x + 4) + 5a(x + 4)

Los dos términos tienen como factor común (x + 4). Por lo tanto tenemos:

6x? + 24x + 5ax + 20a = (x + 4)(6x + 5a)

Ejemplo 5

Factorizar el polinomio 12x? — 2x +3-18x* Solución

Agrupamos el primer término con el tercer término y el segundo con el cuarto. (12x? -18x?) — (2x - 3)

En el primer grupo el factor común es 6x’. En el segundo, el factor común es 1, por lo que obtenemos:

6x (2x-3)-(2x-3)

Entre los dos términos, el factor común es (2x - 3), Al dividir tenemos:

12x? -2x+3-18x? = (2x-316x?-1)

& Recuerda que...