¿Cuáles de las siguientes expresiones representan la diferencia de dos cuadrados perfectos? a) a^3-27b^3 b) 4a^2-1/9b^2 c) 512x^3+1 d) a^2-100 e) 4a^2+81b^2

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Factorización de binomios

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Las expresiones que representan una diferencia de dos cuadrados perfectos son b) $4a^2-\frac{1}{9}b^2$ y d) $a^2-100$ .

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Solución — Página 148

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Regla de factorización

La diferencia de dos cuadrados perfectos se factoriza así:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Para aplicar la regla, ambos términos deben ser cuadrados perfectos y deben estar separados por una resta.

Ejemplo de la página

$16x^2-49y^2$

Sus raíces cuadradas son:

$\sqrt{16x^2}=4x,\qquad \sqrt{49y^2}=7y$

Por lo tanto:

$16x^2-49y^2=(4x+7y)(4x-7y)$

Desequilibrio cognitivo

$a^3-27b^3$ : no es diferencia de cuadrados; es una diferencia de cubos.
$4a^2-\frac{1}{9}b^2$ : sí es diferencia de cuadrados, porque $4a^2=(2a)^2$ y $\frac{1}{9}b^2=\left(\frac{b}{3}\right)^2$ .
$512x^3+1$ : no es diferencia de cuadrados; es una suma de cubos.
$a^2-100$ : sí es diferencia de cuadrados, porque $a^2=(a)^2$ y $100=10^2$ .
$4a^2+81b^2$ : no es diferencia de cuadrados, porque contiene una suma.

Las expresiones correctas son:

$4a^2-\frac{1}{9}b^2$

$a^2-100$

Contenido de la página

Factorización de binomios

No todo polinomio puede descomponerse en un producto de factores distintos de la unidad. La factorización es el proceso contrario a la multiplicación.

Diferencia de dos cuadrados

Cuando se multiplica la suma de dos términos por su diferencia, se obtiene la diferencia de sus cuadrados:

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

En general:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

La diferencia de dos cuadrados perfectos se transforma en dos factores: la suma de sus raíces cuadradas y la diferencia de sus raíces cuadradas.

Ejemplo

$16x^2-49y^2=(4x+7y)(4x-7y)$

Ejemplos resueltos

Factorizar $16x^2-49y^2$ .

Se identifican las raíces cuadradas: $\sqrt{16x^2}=4x$ y $\sqrt{49y^2}=7y$ . Entonces, aplicando la regla de diferencia de cuadrados:

$16x^2-49y^2=(4x+7y)(4x-7y)$

Fórmulas y ecuaciones

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$16x^2-49y^2=(4x+7y)(4x-7y)$

Glosario (4)

Factorización: Proceso de expresar una cantidad o polinomio como un producto de dos o más factores.
Cuadrado perfecto: Número o expresión que resulta de multiplicar una cantidad por sí misma.
Diferencia de cuadrados: Binomio formado por la resta de dos cuadrados perfectos.
Raíz cuadrada: Número que, multiplicado por sí mismo, produce la cantidad dada.

Temas y conceptos clave

Factorización de binomiosDiferencia de dos cuadrados perfectosAplicación de productos notablesCuadrado perfectoRaíz cuadrada exactaDiferencia de cuadradosSuma de raíces cuadradasDiferencia de raíces cuadradas

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Figuras de la página (1)

Imagen de una onda de sonido de radio representada como una señal de audio. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer potencias cuadradas
• Calcular raíces cuadradas exactas
• Aplicar la propiedad distributiva
• Conocer productos notables

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Factorización de diferencias y sumas de cubos

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Tema 4 Factorización de binomios

Desequilibrio cognitivo

¿Cuáles de las expresiones representa la diferencia de dos cuadrados perfectos?

1 a) 4-270" p) 4a’ — 5b c) 512x+1 qd) a-100 @) 4a’ +816

En la factorización, al igual que en aritmética, no todo polinomio se puede des- componer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1; hay ex- presiones algebraicas que solo son divisibles por la unidad y por ellas mismas; en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así, a + b no se puede descomponer en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a + by por la unidad.

La red de comunicación celular comprende algunos elementos, entre ellos, el de acceso al público (el teléfono celular). En el diseño de un teléfono celular se ha considerado la expresión x? -y’ para representar el área de su parte rectangular frontal. ¿Es posible encontrar una expresión que represente su largo y otra que represente su ancho?

2 E 5 2 5

Red de comunicación

Si recordamos los productos notables, observaremos que cuando multiplicamos la suma de dos términos por su diferencia, obtenemos la diferencia de sus cuadra-

dos. Como la factorización es un proceso contrario a la multiplicación, podemos Querer <>

2 2 Varias frecuencias de xy = (x+y)(x-y). ondas de radio se usan . e para la televisión y Por lo tanto, diremos que la expresión que representa al largo es x + y

emisiones de radio FM y AM, comunicaciones militares, teléfonos celulares, redes

y la que representa al ancho es (x— y).

A litsala La diferencia de dos cuadrados perfectos es igual a dos factores: uno formado por computadoras y otras la suma de sus raíces cuadradas, y el otro, por la diferencia de esas raíces. numerosas aplicaciones a? —b* =(a+b)(a-b)

de comunicaciones.

Ejemplo 1

Factorizar 16x? - 49y* Solución

Comprobamos que 16x” y 49y? sean cuadrados perfectos, es decir, calculamos sus raíces cuadradas exactas.

31986,

De 16x’ es 4x y de 49y” es 7y.

Shutterstock, 5569:

Como tales raíces existen, factorizamos aplicando la regla:

Onda de sonido de radio 16x? -49y? =(4x+7yX4x-7y)

M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas.

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