Extrae la raíz cuadrada de cada término: a) 36x^2; b) 144a^2b^4; c) 81m^8n^2; d) 25y^6z^12; e) 0,0169a^2x^2; f) 0,49x^10y^4z^2; g) 9/64x^20; h) 225r^2t^2/196s^4; i) (a+b)^2; j) 49(m+n)^4.

6x; 12ab^2; 9m^4n; 5y^3z^6; 0,13ax; 0,7x^5y^2z; 3/8x^10; 15rt/14s^2; a+b; 7(m+n)^2

Factoriza las expresiones algebraicas de los incisos a) a t) aplicando la diferencia de cuadrados.

4(2v-5z)(2v+5z); (13-11b^2)(13+11b^2); (1-18z^3)(1+18z^3); (3z^3-20x^2y^2)(3z^3+20x^2y^2); ≤ft(8a/5- b2)≤ft(8a/5+ b2); (a-1)(a+1); (x-2)(x+2); (3a-b)(3a+b); (p-5)(p-1); (x+5)(3x+1)

Factoriza hasta la mínima expresión: a) 16x^4-y^4; b) m^8-81n^4.

a) (2x-y)(2x+y)(4x^2+y^2); b) (m^2-3n)(m^2+3n)(m^4+9n^2)

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Extracción de raíces cuadradas y factorización por diferencia de cuadrados

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Respuesta rápida

a) $6x$ ; b) $12ab^2$ ; c) $9m^4n$ ; d) $5y^3z^6$ ; e) $0,13ax$ ; f) $0,7x^5y^2z$ ; g) $\frac{3}{8}x^{10}$ ; h) $\frac{15rt}{14s^2}$ ; i) $a+b$ ; j) $7(m+n)^2$ .
Se pueden factorizar: a), c), d) y f).
Resultados: a) $4(2v-5z)(2v+5z)$ ; b) $(13-11b^2)(13+11b^2)$ ; c) $(1-18z^3)(1+18z^3)$ ; d) $(3z^3-20x^2y^2)(3z^3+20x^2y^2)$ ; e) $\left(\frac{8a}{5}-\frac b2\right)\left(\frac{8a}{5}+\frac b2\right)$ ; f) $\left(\frac{10z^2}{7}-\frac{2y^3}{3}\right)\left(\frac{10z^2}{7}+\frac{2y^3}{3}\right)$ ; g) $\left(\frac{b^2}{c}-\frac a3\right)\left(\frac{b^2}{c}+\frac a3\right)$ ); h) $\left(\frac{13}{10}a^2b-1\right)\left(\frac{13}{10}a^2b+1\right)$ ); i) $(a-1)(a+1)$ ; j) $(x-2)(x+2)$ ); k) $(3a-b)(3a+b)$ ); l) $(4x^3-y)(4x^3+y)$ ); m) $(1-m^2)(1+m^2)$ ); n) $\left(0,1-\frac{7a}{6}\right)\left(0,1+\frac{7a}{6}\right)$ ); o) $(5ab^2-c^4)(5ab^2+c^4)$ ); p) $(11x^2-10y^4)(11x^2+10y^4)$ ); q) $(9m^2-n^2)(9m^2+n^2)$ ); r) $(p-5)(p-1)$ ); s) $(x+5)(3x+1)$ ); t) $\left(\frac32x^3-\frac y5\right)\left(\frac32x^3+\frac y5\right)$ ).
a) $(2x-y)(2x+y)(4x^2+y^2)$ ; b) $(m^2-3n)(m^2+3n)(m^4+9n^2)$ .

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Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 1

Extracción de la raíz cuadrada

Se extrae la raíz cuadrada del coeficiente y se divide entre dos el exponente de cada variable:

a) $\sqrt{36x^2}=6x$
b) $\sqrt{144a^2b^4}=12ab^2$
c) $\sqrt{81m^8n^2}=9m^4n$
d) $\sqrt{25y^6z^{12}}=5y^3z^6$
e) $\sqrt{0,0169a^2x^2}=0,13ax$
f) $\sqrt{0,49x^{10}y^4z^2}=0,7x^5y^2z$
g) $\sqrt{\frac{9}{64}x^{20}}=\frac{3}{8}x^{10}$
h) $\sqrt{\frac{225r^2t^2}{196s^4}}=\frac{15rt}{14s^2}$
i) $\sqrt{(a+b)^2}=a+b$
j) $\sqrt{49(m+n)^4}=7(m+n)^2$

Ejercicio 2

Identificación

Una diferencia de cuadrados tiene la forma $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ . Las expresiones que cumplen esta condición son:

a) $64m^2-16$
c) $49a^2-1$
d) $4a^2-81b^4$
f) $100b^{12}a^2-225$

Las expresiones b) y e) no son diferencias de cuadrados: b) es una suma y $8z^2$ no es un cuadrado perfecto.

Ejercicio 3

Factorización

Se aplica la identidad $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ :

a) $16v^2-100z^2=4(2v-5z)(2v+5z)$ .
b) $169-121b^4=(13-11b^2)(13+11b^2)$ .
c) $-324z^6+1=(1-18z^3)(1+18z^3)$ .
d) $-400x^4y^4+9z^6=(3z^3-20x^2y^2)(3z^3+20x^2y^2)$ .
e) $\frac{64}{25}a^2-\frac14b^2=\left(\frac{8a}{5}-\frac b2\right)\left(\frac{8a}{5}+\frac b2\right)$ .
f) $\frac{100}{49}z^4-\frac{36}{81}y^6=\left(\frac{10z^2}{7}-\frac{2y^3}{3}\right)\left(\frac{10z^2}{7}+\frac{2y^3}{3}\right)$ .
g) $-\frac19a^2+\frac{b^4}{c^2}=\left(\frac{b^2}{c}-\frac a3\right)\left(\frac{b^2}{c}+\frac a3\right)$ .
h) $-1+1,69a^4b^2=\left(\frac{13}{10}a^2b-1\right)\left(\frac{13}{10}a^2b+1\right)$ .
i) $a^2-1=(a-1)(a+1)$ .
j) $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .
k) $9a^2-b^2=(3a-b)(3a+b)$ .
l) $16x^6-y^2=(4x^3-y)(4x^3+y)$ .
m) $1-m^4=(1-m^2)(1+m^2)$ .
n) $0,01-\frac{49}{36}a^2=\left(0,1-\frac{7a}{6}\right)\left(0,1+\frac{7a}{6}\right)$ .
o) $25a^2b^4-c^8=(5ab^2-c^4)(5ab^2+c^4)$ .
p) $121x^4-100y^8=(11x^2-10y^4)(11x^2+10y^4)$ .
q) $81m^4-n^4=(9m^2-n^2)(9m^2+n^2)$ .
r) $(p-3)^2-4=(p-5)(p-1)$ .
s) $(2x+3)^2-(x-2)^2=(x+5)(3x+1)$ .
t) $\frac94x^6-\frac{y^2}{25}=\left(\frac32x^3-\frac y5\right)\left(\frac32x^3+\frac y5\right)$ .

Ejercicio 4

Factorización hasta la mínima expresión

a) $16x^4-y^4=(4x^2-y^2)(4x^2+y^2)=(2x-y)(2x+y)(4x^2+y^2)$ .
b) $m^8-81n^4=(m^4-9n^2)(m^4+9n^2)=(m^2-3n)(m^2+3n)(m^4+9n^2)$ .

Contenido de la página

Ideas principales

Para extraer la raíz cuadrada de un término, se obtiene la raíz del coeficiente y se divide entre dos el exponente de cada variable.

La diferencia de cuadrados se reconoce porque tiene la forma $A^2-B^2$ . Su factorización es:

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Para factorizar completamente, se repite el procedimiento mientras alguno de los factores siga siendo una diferencia de cuadrados.

Ejemplos resueltos

Factoriza $x^2-9$ .

$x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3)$ .

Factoriza completamente $16x^4-y^4$ .

$16x^4-y^4=(4x^2-y^2)(4x^2+y^2)=(2x-y)(2x+y)(4x^2+y^2)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

$\sqrt{x^{2n}}=x^n$

Glosario (4)

Cuadrado perfecto: Número o expresión que resulta de multiplicar una cantidad por sí misma.
Diferencia de cuadrados: Expresión algebraica formada por la resta de dos cuadrados perfectos.
Factorizar: Escribir una expresión como producto de factores más sencillos.
Mínima expresión: Forma factorizada en la que ya no se pueden aplicar otras factorizaciones notables.

Temas y conceptos clave

Extracción de raíces cuadradasDiferencia de cuadradosFactorización algebraicaRaíz cuadrada de un monomioCuadrado perfectoIdentidad $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$Factorización completa

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