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Trinomios cuadrados perfectos

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$x^2+2xy+y^2$
$4a^2+\frac{4}{3}ab+\frac{1}{9}b^2$

La expresión $9x^2+6xy+y^2$ es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como $(3x+y)^2$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 152

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Saberes previos

Para desarrollar el cuadrado de un binomio usamos:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Ejercicio 1

Desarrollo de $(x+y)^2$

Se identifica $a=x$ y $b=y$ :

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

Ejercicio 2

Desarrollo de $\left(2a+\frac{1}{3}b\right)^2$

Aplicamos la fórmula $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ :

$\left(2a+\frac{1}{3}b\right)^2=(2a)^2+2(2a)\left(\frac{1}{3}b\right)+\left(\frac{1}{3}b\right)^2$

Calculamos cada término:

$(2a)^2=4a^2$

$2(2a)\left(\frac{1}{3}b\right)=\frac{4}{3}ab$

$\left(\frac{1}{3}b\right)^2=\frac{1}{9}b^2$

Por tanto:

$\left(2a+\frac{1}{3}b\right)^2=4a^2+\frac{4}{3}ab+\frac{1}{9}b^2$

Concepto de trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto tiene tres términos. El primero y el tercero son cuadrados perfectos positivos, y el término central es el doble del producto de sus raíces cuadradas:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

Para factorizarlo, se extraen las raíces cuadradas del primer y tercer término, se las separa con el signo del término central y se eleva el binomio al cuadrado.

Ejemplo de la página

Consideramos:

$9x^2+6xy+y^2$

Las raíces cuadradas del primer y tercer término son:

$\sqrt{9x^2}=3x \qquad \text{y} \qquad \sqrt{y^2}=y$

Verificamos el término central:

$2(3x)(y)=6xy$

Como se cumple la condición, es un trinomio cuadrado perfecto:

$9x^2+6xy+y^2=(3x+y)^2$

Por ello, la lámina radiográfica representa un cuadrado cuyo lado mide $3x+y$ .

Contenido de la página

Trinomios cuadrados perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos cuyo primer y tercer término son cuadrados perfectos positivos, mientras que el término central es el doble del producto de sus raíces cuadradas.

La identidad fundamental es:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

Si el término central es negativo, se aplica:

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Regla de factorización

Extraer la raíz cuadrada del primer término.
Extraer la raíz cuadrada del tercer término.
Separar las raíces con el signo del término central.
Elevar el binomio al cuadrado.

En el ejemplo de la página:

$9x^2+6xy+y^2=(3x+y)^2$

La lámina radiográfica tiene forma cuadrada y su lado está representado por $3x+y$ .

Ejemplos resueltos

Factorizar $9x^2+6xy+y^2$ .

Las raíces cuadradas del primer y tercer término son $3x$ y $y$ . Además, $2(3x)(y)=6xy$ . Por tanto, el trinomio es cuadrado perfecto y se factoriza así: $9x^2+6xy+y^2=(3x+y)^2$

Fórmulas y ecuaciones

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$9x^2+6xy+y^2=(3x+y)^2$

Glosario (4)

Cuadrado perfecto: Expresión que resulta de multiplicar una cantidad por sí misma.
Trinomio: Polinomio formado por tres términos.
Factorización: Proceso de expresar un polinomio como producto de factores.
Raíz cuadrada: Número o expresión que, multiplicado por sí mismo, produce una cantidad dada.

Temas y conceptos clave

Cuadrado de un binomioTrinomio cuadrado perfectoFactorización de trinomios cuadrados perfectosUn cuadrado perfecto es el producto de dos factores iguales.El primer y tercer término de un TCP son cuadrados perfectos positivos.El término central es el doble del producto de las raíces cuadradas.La factorización de un TCP es el cuadrado de un binomio.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se reconoce un trinomio cuadrado perfecto?

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¿Cuál es la fórmula del cuadrado de un binomio?

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¿Cómo se factoriza un trinomio cuadrado perfecto?

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación de monomios
• Potenciación de expresiones algebraicas
• Raíz cuadrada de términos algebraicos
• Reducción de términos semejantes

Siguiente tema sugerido

Factorización de otros trinomios y diferencia de cuadrados

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Radiografia de torax

1 sabias que?)

Los rayos X son un tipo de radiación electromagnética, invisible para el ojo humano, capaz de atravesar cuerpos opacos y de imprimir películas fotográficas. Los actuales sistemas digitales permiten obtener y visualizar la imagen radiográfica directamente en

una computadora, sin necesidad de imprimirla.

Shutterstock, 2607953.

$ Interculturalidad

En la actualidad, muchas comunidades indígenas continúan recreando sus prácticas educativas ancestrales. Estas permiten conocer no solo sus aspectos sociopolíticos y socioculturales,

sino también sus conocimientos científicos.

Trinomios cuadrados perfectos

Saberes previos

Desarrolla los siguientes binomios en tu cuaderno:

(x+y) = (20+20) -

Una expresión algebraica es un cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. Por ejemplo, 64a? es cuadrado perfecto de 8a; y 25x” es cuadrado perfecto de 5x.

En este tema analizaremos la factorización de trinomios cuadrados perfectos.

En el diseño de la lámina de impresión radiográfica de la imagen, se ha usado la expresión 9x? +6xy+y* para expresar su área, ¿es correcto decir que la placa es cuadrada?

Dado que el área del cuadrado se obtiene elevando su lado al cuadrado, debemos determinar la expresión que representa el área que resulta de esta operación. Para ello, vamos a conceptualizar lo que es un trinomio cuadrado perfecto.

Un trinomio cuadrado perfecto (TCP) es un polinomio ordenado en relación con una variable; es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y positivos, Además, el segundo término equivale al doble del producto de estas raíces cuadradas.

a’ +2ab+b*

Esta expresión se obtiene al desarrollar el cuadrado de un binomio, Por lo tanto: a +2ab+b’ =(a+b)

. +2 3 ; ry 2 2 De acuerdo con esta información, determinamos si la expresión 9X° + 6xY+Y" es un trinomio cuadrado perfecto:

9x? + 6xy + y

3x y E 23) y |

6xy

Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto: se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

9x? + Oxy + y? =(3x + y)” El resultado obtenido nos permite deducir que la forma de la lámina de impresión

radiográfica es la de un cuadrado cuyo lado queda representado por la expresión 3x + y.

M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas.

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