Operaciones combinadas y problemas con números racionales

Resolución

• a) 100b=25\Rightarrow b=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}.
• b) 0,09b=0,81\Rightarrow b=\frac{0,81}{0,09}=9.
• c) (0,2)^3b=1\Rightarrow \frac{1}{125}b=1\Rightarrow b=125.

El inverso multiplicativo de un número distinto de cero es el número que, al multiplicarse por él, produce 1.

• a) El inverso de -21 es -\frac{1}{21}.
• b) El inverso de \frac{13}{25} es \frac{25}{13}.
• c) 1\div\frac{1}{2}=2.
• d) \frac{1}{2}\div\frac{1}{4}=2.

• a) -\left(\frac{-7}{-3}\right)\div\left(\frac{-5}{6}\right)=-\frac{7}{3}\times\left(-\frac{6}{5}\right)=\frac{14}{5}.
• b) \frac{64}{-27}\div\frac{-12}{7}=-\frac{64}{27}\times\left(-\frac{7}{12}\right)=\frac{112}{81}.
• c) \frac{2}{5}\div1,\overline{3}=\frac{2}{5}\div\frac{4}{3}=\frac{3}{10}.

• a) 0,2-\left(\frac{2}{5}\times\frac{15}{4}+1\right)\div\frac{1}{2}=\frac{1}{5}-5=-\frac{24}{5}.
• b) \frac{2}{3}+0,\overline{3}\times\frac{9}{5}-4(2,1-0,1)\div\frac{4}{3}=\frac{2}{3}+\frac{3}{5}-6=-\frac{71}{15}.
• c) 0,5-\left(-\frac{3}{4}\right)-\left[6(0,\overline{1})-\left(\frac{1}{3}\div\frac{2}{9}\right)\right]=\frac{25}{12}.
• d) 4\div\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times\frac{1}{10}+\frac{1}{25}-0,1=20+\frac{3}{50}+\frac{2}{50}-\frac{5}{50}=20.
• e) \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{6}{5}+\frac{3}{4}\right)\div(-1+0,4+1,5)=\frac{1}{30}\div\frac{9}{10}=\frac{1}{27}.
• f) 0,75-0,5+2+\frac{15}{8}(-0,8)-1-0,6=-\frac{17}{20}.
• g) 1+\frac{4}{5}\times3\times(-2,5)+2\div1,5-2\left(0,\overline{3}-\frac{3}{4}\right)=-\frac{17}{6}.
• h) -2\times\frac{4}{9}-1\div1,5-\left(-0,\overline{6}+\frac{5}{18}\right)\times\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\div(-1)=-\frac{83}{36}.

• a) 80\div\frac{2}{5}=80\times\frac{5}{2}=200 paquetes.
• b) Primer amigo: 120\times\frac{5}{12}=50. Segundo: 120\times\frac{5}{15}=40. Tercero: 120-50-40=30.
• c) Si el número es x, entonces \frac{x}{2}\times\frac{2x}{3}=12. Por tanto, \frac{x^2}{3}=12, x^2=36 y, tomando el número positivo, x=6.
• d) Cuota inicial: 1200\times\frac{1}{3}=400. Saldo: 800. Pago siguiente: 800\times\frac{1}{4}=200. Saldo restante: 600. Cada cuota: 600\div6=100 dólares.
• e) Cuerda: 120\times\frac{2}{5}=48. Viento madera: 120\times\frac{1}{5}=24. Como 24 representa \frac{2}{3} del viento metal, este tiene 24\div\frac{2}{3}=36. Percusión: 120-48-24-36=12.

La pizza tiene 16 partes. Manolo come 16\times\frac{3}{8}=6 partes; quedan 10. Su hermana come la mitad de las restantes: 10\div2=5. Sobran 10-5=5 pedazos.

Se le sugeriría elegir una porción moderada, acompañada de alimentos nutritivos como vegetales y agua, sin juzgarla por su peso. La recomendación debe considerar una alimentación equilibrada y las necesidades individuales.

Un ejemplo de polinomio aritmético es: \frac{2}{3}+\left(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}\right)\times\frac{6}{5}=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\times\frac{6}{5}=\frac{2}{3}+\frac{9}{10}=\frac{47}{30}.

Las propiedades principales son:

• Conmutativa: a+b=b+a y ab=ba.
• Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) y (ab)c=a(bc).
• Elemento neutro: a+0=a y a\times1=a.
• Distributiva: a(b+c)=ab+ac.

Ejemplo: \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}.