Potencias con números racionales

Resolución

Se identifica la base repetida y se cuenta el número de factores.

• a) \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^3.
• b) (-0,01)(-0,01)=(-0,01)^2.
• c) \left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\left(-\frac{1}{3}\right)^5.

• a) Como \left(-\frac{6}{5}\right)^3=\frac{-216}{125}, el exponente faltante es 3.
• b) Para obtener \frac{1024}{32} se requiere \left(\frac{4}{2}\right)^5, porque 4^5=1024 y 2^5=32.
• c) Como \left(-\frac{3}{2}\right)^{-4}=\left(-\frac{2}{3}\right)^4=\frac{16}{81}, una respuesta posible para la base es -\frac{3}{2}. También \frac{3}{2} produce el mismo resultado por tener exponente par.

Se usa a^{-n}=\frac{1}{a^n}.

• a) (11)^{-2}=\frac{1}{11^2}=\frac{1}{121}.
• b) (2)^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}.
• c) (5)^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}.
• d) (-3)^{-4}=\frac{1}{(-3)^4}=\frac{1}{81}.
• e) (-4)^{-3}=\frac{1}{(-4)^3}=-\frac{1}{64}.
• f) \left(-\frac{1}{11}\right)^2=\frac{1}{121}.
• g) \left(-\frac{3}{5}\right)^3=-\frac{27}{125}.
• h) \left(-\frac{4}{3}\right)^4=\frac{256}{81}.
• i) \left(-\frac{1}{13}\right)^{-2}=(-13)^2=169.
• j) \left(-\frac{2}{3}\right)^{-5}=\left(-\frac{3}{2}\right)^5=-\frac{243}{32}.
• k) \left(-\frac{1}{6}\right)^{-3}=(-6)^3=-216.
• l) \left(\frac{17}{10}\right)^{-2}=\left(\frac{10}{17}\right)^2=\frac{100}{289}.

• a) 0,3=\frac{3}{10}, por tanto 0,3^{-1}=\frac{10}{3}. Entonces: \left(\frac{10}{3}\right)^3\cdot\left(\frac{10}{3}\right)=\left(\frac{10}{3}\right)^4=\frac{10000}{81}.
• b) 0,25=\frac{1}{4}: 0,25^4\div\left(\frac{1}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^4\div\left(\frac{1}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}.
• c) 0,\hat{6}=\frac{2}{3} y \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}=\frac{4}{7}: \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{7}\div\left(\frac{2}{7}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{49}{4}=\frac{14}{3}.
• d) Toda potencia distinta de cero elevada a cero vale 1: \left\{\left[\left(-\frac{7}{3}\right)^0\right]^2\right\}^{-8}=1^{-8}=1.

• a) Lado izquierdo: \left(\frac{2}{3}+\frac{5}{3}\right)^2=\left(\frac{7}{3}\right)^2=\frac{49}{9}. Lado derecho: \frac{4}{9}+\frac{25}{9}=\frac{29}{9}. Como no son iguales, es falso.
• b) Se multiplican los exponentes: 4\cdot5\cdot(-11)=-220. La igualdad sería \left(\frac{7}{11}\right)^{-220}=\left(\frac{7}{11}\right)^{-2}, lo cual es falso.
• c) 0,8\hat{3}=\frac{5}{6}. Entonces: \left(\frac{5}{6}\right)^6\div\left(\frac{5}{6}\right)^4=\left(\frac{5}{6}\right)^{6-4}=\left(\frac{5}{6}\right)^2. La igualdad es verdadera.

• a) (-3)^5 es negativo. Al dividir un número negativo entre otro negativo, el resultado es positivo.
• b) \left(-\frac{3}{5}\right)^4 es positivo porque el exponente es par; el signo menos exterior lo convierte en negativo.
• c) 1,234 es positivo y una potencia de exponente negativo conserva el signo positivo.

La quinta parte de la sexta parte equivale a multiplicar por \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{30}: \frac{1}{30}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{12}\right)^2=\frac{1}{30}\left(\frac{17}{60}\right)^2=\frac{1}{30}\cdot\frac{289}{3600}=\frac{289}{108000}.

El número racional es \frac{289}{108000}.

La herencia de Andrea es de $2\,000. La herencia de José es la centésima parte del cuadrado de esa cantidad: J=\frac{1}{100}(2000)^2=\frac{4\,000\,000}{100}=40\,000.

José tiene $40\,000. Para asignar una herencia tomaría una decisión transparente y justa, respetando la ley, los derechos de cada heredero y las necesidades de los hermanos; además, consultaría a todos antes de distribuirla.