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Potenciación y radicación de números racionales. Propiedades

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a) $4^6=4096$ ; b) $5^2=25$ ; c) $(-2)^3=-8$ ; d) $(-3)^6\div(-3)^5=(-3)^1=-3$ . Volumen: $\frac{27}{64}\,\text{cm}^3$ .

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Solución — Página 16

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Potenciación de números racionales

La potenciación representa una multiplicación de factores iguales. Por ejemplo, el volumen de un cubo de arista $\frac{3}{4}\,\text{cm}$ es:

$V=a^3=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{27}{64}\,\text{cm}^3$

Propiedades

Producto de potencias de bases iguales: $\left(\frac{a}{b}\right)^m\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$
Cociente de potencias de bases iguales: $\left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}$
Distributiva respecto de la multiplicación: $\left(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^n\left(\frac{c}{d}\right)^n$
Distributiva respecto de la división: $\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^n\div\left(\frac{c}{d}\right)^n$
Potencia de una potencia: $\left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n}$

Signos

Una base positiva siempre produce un resultado positivo. Una base negativa elevada a un exponente par produce resultado positivo; elevada a un exponente impar produce resultado negativo.

Corrección de igualdades

Se cuentan los factores iguales en la multiplicación.
Se identifica la base y el exponente.
Se aplican las propiedades de la potenciación.

Para la reflexión final, la etnomatemática puede definirse como el estudio de las formas en que distintos pueblos y culturas comprenden, practican y transmiten conocimientos matemáticos en su vida cotidiana.

Contenido de la página

Idea principal

La potenciación es una operación que corresponde a una multiplicación de factores iguales.

Elementos de una potencia

En $a^n$ , $a$ es la base, $n$ es el exponente y $a^n$ es la potencia.

Ejemplo geométrico

Para un cubo de arista $\frac{3}{4}\,\text{cm}$ : $V=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}\,\text{cm}^3$

Propiedades

$\left(\frac{a}{b}\right)^m\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}$

$\left(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^n\left(\frac{c}{d}\right)^n$

$\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^n\div\left(\frac{c}{d}\right)^n$

$\left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m\cdot n}$

Signos

La potencia de una base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.

Ejemplos resueltos

Calcular el volumen de un cubo cuya arista mide $\frac{3}{4}\,\text{cm}$ .

$V=a^3=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}\,\text{cm}^3$

Tabla

Base	Exponente	Signo del resultado
Positiva	Par o impar	Positivo
Negativa	Par	Positivo
Negativa	Impar	Negativo

Fórmulas y ecuaciones

$V=a^3$

$\left(\frac{a}{b}\right)^m\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^m\div\left(\frac{a}{b}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{m-n}$

$V=a^3$

$\left(@@MATH_0@@\right)^3=$ $\frac{27}{64}$

$\left(@@MATH_0@@\right)^m\left(@@MATH_1@@\right)^n=\left(@@MATH_2@@\right)^{m+n}$

$\left(@@MATH_0@@\right)^m\div\left(@@MATH_1@@\right)^n=\left(@@MATH_2@@\right)^{m-n}$

$\left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]@@MATH_0@@\frac{a}{b}$ $\right)^{m\cdot$ n}

Glosario (4)

Base: Número que se multiplica por sí mismo en una potenciación.
Exponente: Número que indica cuántas veces se repite la base como factor.
Potencia: Resultado de una potenciación.
Etnomatemática: Estudio de los conocimientos y prácticas matemáticas desarrollados por diferentes pueblos y culturas.

Preguntas para practicar

¿Por qué una potencia con base negativa y exponente par es positiva?

¿Qué significa que la potenciación sea una multiplicación de factores iguales?

¿Qué prácticas matemáticas de tu comunidad podrían relacionarse con la etnomatemática?

Temas y conceptos clave

Potenciación de números racionalesPropiedades de la potenciaciónSignos en la potenciaciónVolumen de un cuboEtnomatemáticaBaseExponentePotenciaProducto de potencias de igual baseCociente de potencias de igual basePotencia de una potenciaParidad del exponente

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Figuras de la página (1)

Recuadro informativo sobre la tipografía y Johannes Gutenberg. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cuáles son las propiedades de la potenciación?

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¿Cómo se determina el signo de una potencia?

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¿Cómo se calcula el volumen de un cubo con una arista fraccionaria?

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación y división de fracciones
• Signos de los números enteros
• Lectura de potencias
• Cálculo del volumen de un cubo

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Radicación de números racionales y operaciones combinadas

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Qrrrmaa

La tipografía es el sistema de la imprenta tradicional de tipos móviles inventado por Johannes Gutenberg. Esta forma de impresión fue superada por la impresión offset.

Troquel de acero

o> ES Recuerda que...

Los términos de la potenciación son:

Exponente Y p n b =a

Base Potencia

$ Interculturalidad

Los conocimientos etnomatemáticos se expresan mediante símbolos, que incluyen el uso de expresiones en la propia lengua originaria.

Indaga y escribe con tus palabras el significado de etnomatemática. Preséntalo a la clase.

Potenciación y radicación de números racionales. Propiedades

"Desequilibrio cognitivo

Los resultados de los ejercicios son erróneos; escribe la solución correcta.

a) 4x4x4x4x4x4=6* b)5'=10 ©) (2) =8 d) (3) +(3) =(3)"

¿Cuál es el volumen del troquel de acero que se usó para elaborar uno que servirá para hacer impresiones de tipo tipográfico?

Por ser el troquel de forma cúbica, su volumen se calcula con la fórmula: V=a*, donde V = volumen y a= arista del cubo.

Por lo tanto, el volumen del troquel es Zem 4 4

La potenciación es una operación que corresponde a una multiplicación de factores iguales.

Propiedades de la potenciación de números racionales

Sean a/b y c/d dos números racionales y m, n dos números enteros positivos, Se verifican las siguientes propiedades:

Propiedades Expresión algebraica

Producto de potencias de bases (<) ( a ) E (3 : iguales

b} $\b)$ Ko

Distributiva con respecto a la multi- plicación de números racionales

(5 eros racionales a bd

Potencia de una potencia de números racionales

Signos en la potenciación

| base TA

Par

Impar Par + Impar =

M.4.1.18. Calcular potencias de números racionales con exponentes enteros (destreza desagregada). M.4.1.19. Calcular raíces de números racionales no negativos en la solución de ejercicios numéricos (con operaciones combinadas) y algebraicos, atendiendo la jerarquía

de la operación.

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