Propiedades de la radicación de números racionales

Se transforma el decimal periódico -0,666\ldots en la fracción -\frac{2}{3}:

\left(-\frac{2}{3}\right)^4\left(-0,666\ldots\right)^{-5}\left(-\frac{2}{3}\right)^3=\left(-\frac{2}{3}\right)^4\left(-\frac{2}{3}\right)^{-5}\left(-\frac{2}{3}\right)^3

Al multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes:

\left(-\frac{2}{3}\right)^{4-5+3}=\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}

Al dividir potencias de igual base, se restan los exponentes:

\left(\frac{6}{7}\right)^{-11}\div\left(\frac{6}{7}\right)^{-8}=\left(\frac{6}{7}\right)^{-11-(-8)}=\left(\frac{6}{7}\right)^{-3}

Se aplica el exponente negativo:

\left(\frac{6}{7}\right)^{-3}=\left(\frac{7}{6}\right)^3=\frac{343}{216}

La potencia de un cociente se puede distribuir en el numerador y el denominador:

\left(\frac{3}{2}\div\frac{9}{8}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2\div\left(\frac{9}{8}\right)^2

=\frac{9}{4}\div\frac{81}{64}=\frac{9}{4}\times\frac{64}{81}=\frac{16}{9}

Propiedades de la radicación

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en hallar un número que, elevado al índice de la raíz, produzca el radicando.

• Producto de raíces de igual índice:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\cdot\sqrt[n]{\frac{c}{d}}

• División de raíces de igual índice:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\div\sqrt[n]{\frac{c}{d}}

• Raíz de una raíz:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}=\sqrt[mn]{\frac{a}{b}}

• Raíz de una potencia:

\sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}}

Ejemplo de radicación a)

\sqrt[3]{\frac{8}{27}\cdot\frac{64}{216}}=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\cdot\sqrt[3]{\frac{64}{216}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{6}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}

Ejemplo de radicación b)

Se transforma la raíz cúbica de una raíz cuadrada en una raíz de índice 6:

\sqrt[3]{\sqrt{\frac{64}{729}}}=\sqrt[6]{\frac{64}{729}}=\frac{2}{3}

Ejemplo de radicación c)

Se aplica la propiedad de raíz de una potencia:

\sqrt[6]{\left(\frac{36}{81}\right)^3}=\left(\frac{36}{81}\right)^{\frac{3}{6}}=\left(\frac{36}{81}\right)^{\frac{1}{2}}

=\sqrt{\frac{36}{81}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{81}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}

Conversión de decimales a fracciones

• Decimal exacto:

0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}

• Decimal periódico puro:

0,666\ldots=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}

• Decimal periódico mixto:

4,237272\ldots=\frac{42372-423}{9900}=\frac{41949}{9900}=\frac{4661}{1100}

En la radicación, un radicando positivo tiene raíz positiva para índices pares e impares. Un radicando negativo no tiene raíz real si el índice es par y tiene raíz negativa si el índice es impar.