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Trinomio cuadrado perfecto incompleto

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ejemplo 1: $\left(7a^2-3b\right)^2$ .

Ejemplo 2: $(4w^2-8z^2+2wz)(4w^2-8z^2-2wz)$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 153

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma $A^2\pm 2AB+B^2$ y se factoriza como:

$A^2\pm 2AB+B^2=(A\pm B)^2$

Para reconocerlo, se comprueba que dos términos sean cuadrados perfectos y que el término restante sea el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplo 1

Factorizar:

$49a^4-42a^2b+9b^2$

Los términos extremos son cuadrados perfectos:

$49a^4=(7a^2)^2,\qquad 9b^2=(3b)^2$

Calculamos el doble producto de sus raíces:

$2(7a^2)(3b)=42a^2b$

Como el término central es negativo, se aplica la identidad de diferencia de cuadrados:

$49a^4-42a^2b+9b^2=(7a^2-3b)^2$

Trinomio cuadrado perfecto incompleto

En algunos trinomios, dos términos son cuadrados perfectos, pero el término central no coincide con el doble producto de sus raíces. Para completar el trinomio, se suma y se resta la cantidad necesaria. Así, la expresión no cambia y se puede formar una diferencia de cuadrados.

Por ejemplo:

$-b^2+2b-1=-(b^2-2b+1)=-(b-1)^2$

Ejemplo 2

Factorizar:

$16w^4-68w^2z^2+64z^4$

Los términos extremos son cuadrados perfectos:

$16w^4=(4w^2)^2,\qquad 64z^4=(8z^2)^2$

El doble producto de sus raíces sería:

$2(4w^2)(8z^2)=64w^2z^2$

Pero el término central es $-68w^2z^2$ . Por eso, se suman y restan $4w^2z^2$ :

$16w^4-68w^2z^2+64z^4=(16w^4-64w^2z^2+64z^4)-4w^2z^2$

El primer grupo es un trinomio cuadrado perfecto:

$16w^4-64w^2z^2+64z^4=(4w^2-8z^2)^2$

Entonces:

$16w^4-68w^2z^2+64z^4=(4w^2-8z^2)^2-(2wz)^2$

Aplicamos la diferencia de cuadrados, $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ :

$\left[(4w^2-8z^2)+2wz\right]\left[(4w^2-8z^2)-2wz\right]$

Por tanto:

$16w^4-68w^2z^2+64z^4=(4w^2-8z^2+2wz)(4w^2-8z^2-2wz)$

Contenido de la página

Ideas principales

Un trinomio cuadrado perfecto se identifica mediante dos cuadrados perfectos y un término central igual al doble producto de sus raíces.
Si el término central no cumple esta condición, se puede completar el trinomio sumando y restando la misma cantidad.
El resultado se transforma en una diferencia de cuadrados y luego se factoriza.
La factorización es útil para resolver expresiones algebraicas y modelar situaciones financieras.

Ejemplos resueltos

Factorizar $49a^4-42a^2b+9b^2$ .

Como $49a^4=(7a^2)^2$ , $9b^2=(3b)^2$ y $2(7a^2)(3b)=42a^2b$ , es un trinomio cuadrado perfecto. Por tanto, $49a^4-42a^2b+9b^2=(7a^2-3b)^2$ .

Factorizar $16w^4-68w^2z^2+64z^4$ .

El doble producto esperado es $64w^2z^2$ , por lo que se suman y restan $4w^2z^2$ . Luego se obtiene $(4w^2-8z^2)^2-(2wz)^2$ , cuya factorización es $(4w^2-8z^2+2wz)(4w^2-8z^2-2wz)$ .

Fórmulas y ecuaciones

$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$

$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$

$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

$A^2\pm 2AB+B^2=(A\pm B)^2$

$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

$49a^4-42a^2b+9b^2=(7a^2-3b)^2$

$16w^4-68w^2z^2+64z^4=(4w^2-8z^2+2wz)(4w^2-8z^2-2wz)$

Glosario (4)

Trinomio cuadrado perfecto: Polinomio de tres términos que puede expresarse como el cuadrado de un binomio.
Trinomio cuadrado perfecto incompleto: Trinomio cuyos términos extremos son cuadrados perfectos, pero el término central no es el doble producto de sus raíces.
Diferencia de cuadrados: Expresión de la forma $A^2-B^2$, que se factoriza como $(A+B)(A-B)$.
Raíz cuadrada: Número o expresión que, multiplicada por sí misma, produce el radicando.

Temas y conceptos clave

Trinomio cuadrado perfectoTrinomio cuadrado perfecto incompletoDiferencia de cuadradosAplicaciones de la factorizaciónDos términos deben ser cuadrados perfectosEl término central debe ser el doble producto de las raícesUn trinomio incompleto se completa sumando y restando el mismo términoLa diferencia de cuadrados se factoriza como $(A+B)(A-B)$

Fuentes y referencias

Enlace indicado en la página: lynk.ec/9m14

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se reconoce un trinomio cuadrado perfecto?

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¿Cómo se factoriza un trinomio cuadrado perfecto incompleto?

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¿Qué relación existe entre el trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer cuadrados perfectos
• Aplicar la raíz cuadrada de monomios
• Comprender la propiedad distributiva
• Conocer la diferencia de cuadrados

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Factorización de otros productos notables y polinomios

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Ejemplo 1 & amar Ae?

Solución En Ocasiones, es necesario agrupar 49 a‘ — 42ab+9b Comprobamos si hay dos términos cuadrados perfectos. al trinomio en un M ; y paréntesis para que 7a 3b Observamos que el término del medio sea el doble cumpla las condiciones e de un TCP. ab a by producto de las raices de los cuadrados perfectos. ; -b? +2b-1=-(b?-2b+1) 42a°b 2 =-(b-1)

Como cumple las condiciones:

49a‘ - 42a°b + 9b? =(7a? - 3b)

Trinomio cuadrado perfecto incompleto

Ws Competencia digital

Algunas veces los trinomios tienen dos términos positivos cuadrados

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perfectos, pero el otro término no cumple la condición de ser el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. En este caso se busca la manera de completarlo; al final resulta una diferencia de cuadrados.

Este caso de factorización se conoce como trinomio cuadrado perfecto incompleto.

Ejemplo 2

Factorizar 16w* — 68w?z? + 642*

Solución

16w* y 64z* son cuadrados perfectos positivos, pero 68w”z” no es el doble eS Interdisciplinariedad producto de las raíces cuadradas. Este término debería tener la forma 64w?z?. Matemática

Por lo tanto, para convertirlo en un TCP, sumamos 4w’z’, pero para no alterar la y Contabilidad

expresión, también restamos 4w?z?, La factorización es

(16w* ~68w2? 642" raw? )-4w2 una herramienta muy útil en los campos : empresariales. A partir (1 6w'* -64w’z’ + 642" )- 4w’z? de ella se da solución a diversos problemas y modelos financieros de

2 (aw -82’) -4w’z’ Obtenemos una diferencia de cuadrados. aleta

[(4w -87)+ 2wz || (4w 87? )-2wz |

(4w’ -82? + 2wz)(4w? -87*- 2wz)

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