Completa el segundo término de cada expresión para formar un trinomio cuadrado perfecto.

4b; 72ac; 168x^2y; 43mnp^2q; -0,6xyz^2; -56x^my^n; 415a^x+1b^2x+1; 48x; -24x^2; 30a; 36a^4; 4; 9y^2

Comprueba si cada expresión es un trinomio cuadrado perfecto y luego factoriza.

(2x+y)^2; -(3a+2b)^2; (6x-2y^2)^2; ≤ft(x/8+2z/3)^2; (0,1n-0,6m^3)^2; ≤ft(1-425r^3)^2; (x-y)^2; (a+2)^2; (2m^2-3)^2; (2m^2-3)^2; (m+10n)^2; (p^2-4q)^2

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Trinomios cuadrados perfectos

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $4b$ ; b) $72ac$ ; c) $168x^2y$ ; d) $\frac43mnp^2q$ ; e) $-0,6xyz^2$ ; f) $-56x^my^n$ ; g) $\frac4{15}a^{x+1}b^{2x+1}$ ; h) $48x$ ; i) $-24x^2$ ; j) $30a$ ; k) $36a^4$ ; l) $4$ ; m) $9y^2$ .
Sí: b, e, f, g, k. No: a, c, d, h, i, j, l.
a) $(2x+y)^2$ ; b) $-(3a+2b)^2$ ; c) $(6x-2y^2)^2$ ; d) $\left(\frac{x}{8}+\frac{2z}{3}\right)^2$ ; e) $(0,1n-0,6m^3)^2$ ; f) $\left(1-\frac4{25}r^3\right)^2$ ; g) $(x-y)^2$ ; h) $(a+2)^2$ ; i) $(2m^2-3)^2$ ; j) $(2m^2-3)^2$ ; k) $(m+10n)^2$ ; l) $(p^2-4q)^2$ .

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Solución — Página 154

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Para resolver estos ejercicios se utiliza la identidad $A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$ o $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$ . El segundo término debe ser el doble producto de las raíces cuadradas de los términos extremos.

Ejercicio 1

Términos que faltan

Se obtiene el segundo término calculando $2\sqrt{T_1}\sqrt{T_3}$ , con el signo indicado en cada expresión.

a) $1+4b+4b^2=(1+2b)^2$ .
b) $81a^2+72ac+16c^2=(9a+4c)^2$ .
c) $144x^4+168x^2y+49y^2=(12x^2+7y)^2$ .
d) $\frac14m^2n^2+\frac43mnp^2q+\frac{16}{9}p^4q^2=\left(\frac12mn+\frac43p^2q\right)^2$ .
e) $0,36x^2y^2-0,6xyz^2+0,25z^4=(0,6xy-0,5z^2)^2$ .
f) $4x^{2m}-56x^my^n+196y^{2n}=(2x^m-14y^n)^2$ .
g) $\frac4{225}a^{2x+2}+\frac4{15}a^{x+1}b^{2x+1}+b^{4x+2}=\left(\frac2{15}a^{x+1}+b^{2x+1}\right)^2$ .
h) $9x^2+48x+64=(3x+8)^2$ .
i) $4x^4-24x^2+36=(2x^2-6)^2$ .
j) $25a^2+30a+9=(5a+3)^2$ .
k) $4a^8+36a^4+81=(2a^4+9)^2$ .
l) $49x^2-28x+4=(7x-2)^2$ .
m) $36x^2+36xy+9y^2=(6x+3y)^2$ .

Ejercicio 2

Identificación

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando sus términos extremos son cuadrados perfectos y el término central es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Son trinomios cuadrados perfectos: $169r^2-26rs+s^2$ , $-6xy+9x^2+y^2$ , $121m^2-88mnp+64n^2p^2$ , $x^2-2x+1$ y $p^2-8pq+16q^2$ .

No son trinomios cuadrados perfectos: $1+2ab-b^2$ , $-4x^2+24xy^2z+36y^4z^2$ , $2a^2b^2-4abc^2+4c^4$ , $a^2-2a+4$ , $m^4-6m+9$ , $1+10m+100m^2$ y $25s^2-10s-1$ .

Ejercicio 3

Comprobación y factorización

a) Las raíces de los extremos son $2x$ y $y$ , y su doble producto es $4xy$ ; por tanto, $4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2$ .
b) Al extraer el signo negativo: $-9a^2-12ab-4b^2=-(3a+2b)^2$ .
c) Las raíces son $6x$ y $2y^2$ , y el término central es $-24xy^2$ ; entonces $36x^2-24xy^2+4y^4=(6x-2y^2)^2$ .
d) Las raíces son $\frac{x}{8}$ y $\frac{2z}{3}$ ; su doble producto es $\frac16xz$ . Por ello, $\frac1{64}x^2+\frac16xz+\frac49z^2=\left(\frac{x}{8}+\frac{2z}{3}\right)^2$ .
e) $0,01n^2+0,36m^6-0,12m^3n=(0,1n-0,6m^3)^2$ .
f) $-\frac8{25}r^3+1+\frac{16}{625}r^6=\left(1-\frac4{25}r^3\right)^2$ .
g) $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$ .
h) $a^2+4a+4=(a+2)^2$ .
i) $4m^4-12m^2+9=(2m^2-3)^2$ .
j) $4m^4-12m^2+9=(2m^2-3)^2$ .
k) $m^2+20mn+100n^2=(m+10n)^2$ .
l) $p^4-8p^2q+16q^2=(p^2-4q)^2$ .

Contenido de la página

Fórmulas principales

$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$

$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$

Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto, se deben verificar tres condiciones: el primer y el tercer término deben ser cuadrados perfectos, y el término central debe ser el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos resueltos

Completar $25a^2+\square+9$ para formar un trinomio cuadrado perfecto.

Las raíces de los extremos son $5a$ y $3$ . El doble producto es $2(5a)(3)=30a$ . Por tanto, $25a^2+30a+9=(5a+3)^2$ .

Fórmulas y ecuaciones

$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$

$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$

$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$

$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$

Glosario (4)

Trinomio cuadrado perfecto: Polinomio de tres términos que resulta de elevar un binomio al cuadrado.
Doble producto: Producto de dos veces las cantidades que forman las raíces cuadradas de los términos extremos.
Factorizar: Expresar una cantidad o polinomio como producto de sus factores.
Identidad notable: Igualdad algebraica que se cumple para todos los valores permitidos de sus variables.

Temas y conceptos clave

Completar trinomios cuadrados perfectosIdentificar trinomios cuadrados perfectosFactorizar trinomios cuadrados perfectosCuadrado de una sumaCuadrado de una diferenciaDoble productoRaíz cuadrada de los términos extremosFactorización

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