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Factorización de trinomios de las formas $x^2+bx+c$ y $ax^2+bx+c$

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Área del rectángulo: $a^2-5a+6$ . Dimensiones de la placa: $x+8$ y $x-3$ . Factorización del ejemplo: $(x+7y)(x-y)$ .

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 156

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Idea principal

La factorización de un trinomio permite expresarlo como el producto de dos binomios. Para un trinomio de la forma $x^2+bx+c$ , se buscan dos números cuya suma sea $b$ y cuyo producto sea $c$ :

$x^2+bx+c=(x+d)(x+e)$

donde:

$d+e=b \quad \text{y} \quad de=c$

Desequilibrio cognitivo

El largo del rectángulo es $a-2$ y el ancho es $a-3$ . Su área se obtiene multiplicando ambas dimensiones:

$A=(a-2)(a-3)$

Aplicando el producto notable:

$A=a^2-3a-2a+6=a^2-5a+6$

Por tanto, la expresión del área es $a^2-5a+6$ .

Área de la placa de plomo

La expresión del área es:

$x^2+5x-24$

Buscamos dos números que sumen $5$ y cuyo producto sea $-24$ . Estos números son $8$ y $-3$ .

$x^2+5x-24=(x+8)(x-3)$

Por lo tanto, el largo y el ancho de la placa pueden representarse mediante $x+8$ y $x-3$ .

Ejemplo 1

Factorizar:

$x^2+6xy-7y^2$

Los términos que se buscan deben contener $y$ . Los números $7$ y $-1$ cumplen:

$7y+(-y)=6y$

$(7y)(-y)=-7y^2$

Entonces:

$x^2+6xy-7y^2=(x+7y)(x-y)$

Contenido de la página

Regla de factorización

Para factorizar $x^2+bx+c$ , se buscan $d$ y $e$ tales que $d+e=b$ y $de=c$ . Luego se escribe $x^2+bx+c=(x+d)(x+e)$ .

Aplicación geométrica

Si el área de un rectángulo se expresa como un trinomio, sus dimensiones pueden obtenerse al factorizar dicho trinomio.

Ejemplos

$x^2+5x-24=(x+8)(x-3)$

$x^2+6xy-7y^2=(x+7y)(x-y)$

Ejemplos resueltos

Determinar la expresión del área de un rectángulo cuyo largo es $a-2$ y cuyo ancho es $a-3$ .

$A=(a-2)(a-3)=a^2-5a+6$

Factorizar $x^2+5x-24$ .

Se buscan dos números cuya suma sea $5$ y cuyo producto sea $-24$ : $8$ y $-3$ . Por tanto, $x^2+5x-24=(x+8)(x-3).$

Factorizar $x^2+6xy-7y^2$ .

Los términos $7y$ y $-y$ suman $6y$ y su producto es $-7y^2$ . Por tanto, $x^2+6xy-7y^2=(x+7y)(x-y).$

Fórmulas y ecuaciones

$x^2+bx+c=(x+d)(x+e)$

$d+e=b$ y $de=c$

$A=\text{largo}\times\text{ancho}$

$x^2+bx+c=(x+d)(x+e)$

d+e=b

de=c

$x^2+5x-24=(x+8)(x-3)$

$x^2+6xy-7y^2=(x+7y)(x-y)$

Glosario (4)

Trinomio: Expresión algebraica formada por tres términos unidos por operaciones de suma o resta.
Factorización: Proceso de expresar una cantidad o polinomio como producto de factores.
Binomio: Expresión algebraica formada por dos términos.
Coeficiente: Número que multiplica a una variable o término algebraico.

Temas y conceptos clave

Factorización de trinomiosTrinomios de la forma $x^2+bx+c$Aplicación de la factorización en áreasUn trinomio puede escribirse como producto de dos binomiosLos números buscados deben sumar $b$Los números buscados deben multiplicarse para obtener $c$La factorización se verifica desarrollando el producto

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📌 Antes de leer esto

• Multiplicación de polinomios
• Productos notables
• Suma y multiplicación de números enteros
• Reducción de términos semejantes

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Factorización de trinomios de la forma $ax^2+bx+c$

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Tema 6

Shutterstock, 507322168.

Radiación rayos gamma

Qrerrrraa

Otro tipo de energía electromagnética

son los rayos gamma. Estos rayos vienen desde el espacio y

son absorbidos por la atmósfera. Sin embargo, pueden ser producidos al manipular los átomos de elementos radiactivos. Su energía es tan grande que pueden causar

daño al núcleo de

las células. Esta propiedad se usa para esterilizar alimentos e instrumental médico.

Factorización de trinomios de las formas x2 + bx+c;ax?+bx+c

"Desequilibrio cognitivo

Reflexiona: ¿cuál es la expresión que representa el área de un rectángulo cuyo largo está determinado por a -2 y cuyo ancho, por a -3?

En el desarrollo del producto notable (x + a)(x + b) = x’ + (a + b)x + ab, se obtiene un trinomio de la forma x” + px + q. Para ello, se hace a + b= py ab = q; por lo tanto, la relación directa entre productos notables y factorización es directa.

En este tema analizaremos los trinomios de la forma x? + bx + c, ax? + bx +C.

Para evitar la radiación producida por los rayos gamma, se ha construido una placa de plomo, cuya área ha sido representada por la expresión x? + 5x- 24. ¿Cuál es la expresión que representa el largo y el ancho de la placa?

Para responder la interrogante, debemos recordar que un trinomio de la forma x?

bx + c se obtiene a partir del producto de dos binomios que tienen como térmi- no común una letra con coeficiente 1. Por lo tanto, revisemos la forma de factorizar este trinomio.

La factorización de un trinomio de la forma x*+bx+c corresponde a factores (paréntesis). Los dos contendrán la raíz cuadrada del primer término del trinomio. A continuación del primer término, en el primer |. paréntesis ira el signo del segundo término del trinomio, mientras que luego del primer término del segundo paréntesis, irá el signo que resulte de multiplicar los signos del segundo y tercer término, Luego se | buscarán dos términos que sumados algebraicamente den el coeficiente by que multiplicados algebraicamente den c.

x +bx+c=(xtd)(x+e)

Siempre que d>e deb+c y e=bec BRA

En el trinomio x? + 5x - 24, que representa el área de la placa, tenemos: x? +5x-24=(x+8)(x-3) puesto que 8-3=5 y (+8)-3) =-24 Ejemplo 1

Factorizar x? +6xy-7y?

Solución

Este trinomio contiene como término independiente la letra y. Por lo tanto, los términos por encontrar deberán contener dicha letra.

x+6xy-7y =(x+7y)(x-y)

Porque: 7y-y=6y y (+7yM-y)=-7y?

M.5.1.1. Aplicar las propiedades algebraicas de los números reales en la resolución de productos notables y en la factorización de expresiones algebraicas.

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