Extrae el factor común y factoriza los incisos a-k.

a) a(x+y)^2; c) -z^2(w-2t)^2; d) -4(4x-3y)^2; e) x(3a+b)^2; f) y(x+4)^2; g) (4x-6y)^2; h) -(x-7y)^2; i) x^2(10a+b)^2; j) p(m-0,25)^2; k) -(n^2-5p)^2

Descompón en factores los tres trinomios.

a) (x+y-z^3)^2; b) (9m^2+a+b)^2; c) (2x+5y-z-w)^2

Crear dos trinomios cuadrados a partir de binomios al cuadrado e intercambiarlos con otro grupo.

(x+5y)^2=x^2+10xy+25y^2; (3a-2b)^2=9a^2-12ab+4b^2

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

155/255

Factor común y trinomios cuadrados perfectos

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 155

155 de 255

Anterior Página 155 / 255 Siguiente

Respuesta rápida

a) $a(x+y)^2$ ; b) $m(4x^2-12y+9)$ , no es TCP tal como está impreso; c) $-z^2(w-2t)^2$ ; d) $-4(4x-3y)^2$ ; e) $x(3a+b)^2$ ; f) $y(x+4)^2$ ; g) $(4x-6y)^2$ ; h) $-(x-7y)^2$ ; i) $x^2(10a+b)^2$ ; j) $p(m-0,25)^2$ ; k) $-(n^2-5p)^2$ . 5) a) $(x+y-z^3)^2$ ; b) $(9m^2+a+b)^2$ ; c) $(2x+5y-z-w)^2$ . 6) a) C; b) B. 7) Ver factorizaciones desarrolladas en la solución.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 10 min lectura

Solución — Página 155

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 4

Extraer el factor común y factorizar

Se identifica el factor común y luego se aplica $A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$ o $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$ .

a) $ax^2+2axy+ay^2=a(x^2+2xy+y^2)=a(x+y)^2$ .
b) $4mx^2-12my+9m=m(4x^2-12y+9)$ . Tal como aparece impreso, el trinomio interior no es cuadrado perfecto porque el término central contiene $y$ y no $x$ . Si se tratara de $4mx^2-12mx+9m$ , el resultado sería $m(2x-3)^2$ .
c) $-w^2z^2+4wtz^2-4t^2z^2=-z^2(w^2-4wt+4t^2)=-z^2(w-2t)^2$ .
d) $96xy-64x^2-36y^2=-4(16x^2-24xy+9y^2)=-4(4x-3y)^2$ .
e) $9a^2x+6abx+b^2x=x(9a^2+6ab+b^2)=x(3a+b)^2$ .
f) $x^2y+8xy+16y=y(x^2+8x+16)=y(x+4)^2$ .
g) $16x^2-48xy+36y^2=(4x-6y)^2$ .
h) $-x^2+14xy-49y^2=-(x^2-14xy+49y^2)=-(x-7y)^2$ .
i) $100a^2x^2+20abx^2+b^2x^2=x^2(10a+b)^2$ .
j) $m^2p-0,5mp+0,0625p=p(m^2-0,5m+0,0625)=p(m-0,25)^2$ .
k) $-n^4+10n^2p-25p^2=-(n^4-10n^2p+25p^2)=-(n^2-5p)^2$ .

Ejercicio 5

Descomponer en factores

a) $(x+y)^2-2(x+y)z^3+z^6=((x+y)-z^3)^2$ .
b) $81m^4+18m^2(a+b)+(a+b)^2=(9m^2+a+b)^2$ .
c) $(2x+5y)^2-2(2x+5y)(z+w)+(z+w)^2=(2x+5y-z-w)^2$ .

Ejercicio 6

Seleccionar la factorización correcta

a) Sea $u=x-y$ . Entonces $u^2-12u+36=(u-6)^2=(x-y-6)^2$ . La opción correcta es C.
b) Sea $u=a-b$ . Entonces $16-8u+u^2=(4-u)^2=(4-a+b)^2$ . La opción correcta es B.

Ejercicio 7

Trinomios cuadrados perfectos incompletos

Se completa el cuadrado agregando y restando el término necesario y luego se aplica diferencia de cuadrados.

a) $a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2-(ab)^2=(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ .
b) $81x^4-36x^2y^2+16y^4=(9x^2+6\sqrt{3}xy+4y^2)(9x^2-6\sqrt{3}xy+4y^2)$ .
c) $25x^4+64x^2y^2+100y^4=(5x^2+10y^2)^2-(6xy)^2=(5x^2-6xy+10y^2)(5x^2+6xy+10y^2)$ .
d) $4z^4+y^4+4z^2y^2=(2z^2+y^2)^2-(2zy)^2=(2z^2-2zy+y^2)(2z^2+2zy+y^2)$ .
e) $256m^4+64m^2n^2+16n^4=(16m^2+4n^2)^2-(8mn)^2=(16m^2-8mn+4n^2)(16m^2+8mn+4n^2)$ .
f) $1+b^4=(1+b^2)^2-(\sqrt{2}b)^2=(b^2-\sqrt{2}b+1)(b^2+\sqrt{2}b+1)$ .
g) $x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2-(xy)^2=(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)$ .
h) $m^4+2m^2n^2+9n^4=(m^2+3n^2)^2-(2mn)^2=(m^2-2mn+3n^2)(m^2+2mn+3n^2)$ .
i) $25a^4+a^2b^2+b^4=(5a^2+b^2)^2-(3ab)^2=(5a^2-3ab+b^2)(5a^2+3ab+b^2)$ .
j) La expresión impresa $16x^4+8x^2y^2+9b^4$ presenta variables diferentes en sus dos últimos términos; por ello no puede factorizarse como trinomio cuadrado perfecto sin corregir el enunciado.

Ejercicio 8

Trabajo colaborativo

Ejemplo de dos trinomios para intercambiar:

$x^2+10xy+25y^2=(x+5y)^2$ .
$9a^2-12ab+4b^2=(3a-2b)^2$ .

Ejercicio 9

Actividad indagatoria

Para estructurar un trinomio cuadrado perfecto se eligen dos términos cuadrados, se calcula el doble de su producto y se usa el signo correspondiente. Por ejemplo, con $A=2x$ y $B=3y$ , se obtiene $A^2+2AB+B^2=4x^2+12xy+9y^2=(2x+3y)^2$ .

Contenido de la página

Identidades principales

$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$

$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Para un trinomio incompleto se agrega y se resta el mismo término, de modo que aparezca un cuadrado perfecto.

Ejemplos resueltos

Factorizar $9x^2+12xy+4y^2$ .

Se reconoce $9x^2=(3x)^2$ , $4y^2=(2y)^2$ y $12xy=2(3x)(2y)$ . Por tanto, $9x^2+12xy+4y^2=(3x+2y)^2$ .

Fórmulas y ecuaciones

$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$

$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$

$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Glosario (3)

Factor común: Elemento que se repite en todos los términos de un polinomio y puede extraerse.
Trinomio cuadrado perfecto: Polinomio de tres términos que resulta del cuadrado de un binomio.
Diferencia de cuadrados: Expresión de la forma $A^2-B^2$, que se factoriza como $(A-B)(A+B)$.

Preguntas para practicar

¿Por qué es necesario extraer primero el factor común?

¿Cómo se identifica el término central de un trinomio cuadrado perfecto?

¿Qué término debe agregarse y restarse para completar un cuadrado?

Temas y conceptos clave

Extracción de factor comúnFactorización de trinomios cuadrados perfectosTrinomios cuadrados perfectos incompletosDiferencia de cuadradosFactor comúnCuadrado de una sumaCuadrado de una diferenciaCompletación de cuadradosDiferencia de cuadrados

¿Te fue útil esta página?