Números irracionales. Números reales y redondeo
Respuesta rápida
Saberes previos: c=10 y x=16. Diagonal de 16 por 13: 5\sqrt{17} pulgadas, aproximadamente 20,6155 pulgadas. Diagonal de 15,2 por 11,4: 19 pulgadas. Clasificación: 1,333\ldots racional; \sqrt[3]{17} irracional; 2,236067977499 racional si es decimal finito; \sqrt[5]{32}=2 entero; 2,4\overline{1} racional; \sqrt{26} irracional. \pi es irracional.
Solución — Página 20
Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025
Saberes previos
Para hallar los lados desconocidos se aplica el teorema de Pitágoras:
c^2=a^2+b^2
Primer triángulo
Los catetos miden 8 y 6:
c=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10
Por tanto, c=10.
Segundo triángulo
La hipotenusa mide 20 y uno de los catetos mide 12. El otro cateto es:
x=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16
Por tanto, x=16.
Diagonal de la pantalla
Para una pantalla de 16 pulgadas de ancho y 13 pulgadas de altura, la diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo:
D=\sqrt{16^2+13^2}=\sqrt{256+169}=\sqrt{425}
Como 425=25\cdot17:
D=\sqrt{25\cdot17}=5\sqrt{17}\approx20,6155
La medida exacta de la diagonal es 5\sqrt{17} pulgadas.
Para el televisor de 15,2 pulgadas de largo y 11,4 pulgadas de ancho:
D=\sqrt{15,2^2+11,4^2}
D=\sqrt{231,04+129,96}=\sqrt{361}=19
La diagonal mide exactamente 19 pulgadas.
Números irracionales
Un número irracional no puede expresarse como el cociente exacto de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita y no presenta un período que se repita. Por ejemplo, \sqrt{17}, \sqrt{26} y \pi son números irracionales.
Ejemplo 1: clasificación
- 1,333\ldots es racional porque es un decimal periódico.
- \sqrt[3]{17} es irracional porque 17 no es un cubo perfecto.
- 2,236067977499 escrito como decimal exacto es racional, pues todo decimal finito puede convertirse en fracción. Si el libro pretende representar una expansión infinita no periódica, debería escribirse con puntos suspensivos y entonces sería irracional.
- \sqrt[5]{32}=2, por lo tanto es entero.
- 2,4\overline{1} es racional porque es un decimal periódico.
- \sqrt{26} es irracional porque 26 no es un cuadrado perfecto.
Finalmente, \pi\approx3,14159265\ldots es irracional.
Contenido de la página
Números irracionales
Un número irracional no puede expresarse como el cociente exacto de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita y no periódica.
Aplicación geométrica
La diagonal de un rectángulo se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras a sus lados:
D=\sqrt{l^2+a^2}
Clasificación
Los números pueden clasificarse en enteros, racionales e irracionales. Los decimales exactos y periódicos son racionales; las raíces de números que no son potencias perfectas suelen ser irracionales.
Ejemplos resueltos
Calcula la diagonal de un protector rectangular de 16 pulgadas de ancho y 13 pulgadas de alto.
D=\sqrt{16^2+13^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\approx20,6155 Por tanto, la diagonal exacta mide 5\sqrt{17} pulgadas.
Clasifica \sqrt[5]{32}.
\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2 Como 2 pertenece a los números enteros, es un número entero.
Tabla
| Tipo de número | Característica | Ejemplo |\n|---|---|---|\n| Entero | No tiene parte decimal | 2 |\n| Racional | Puede expresarse como fracción | 1,333\ldots |\n| Irracional | Decimal infinito no periódico | \sqrt{26} |
Fórmulas y ecuaciones
c=\sqrt{a^2+b^2}
D=\sqrt{l^2+a^2}
\sqrt{425}=5\sqrt{17}
c^2=a^2+b^2
D=\sqrt{l^2+a^2}
D=\sqrt{16^2+13^2}=5\sqrt{17}
Glosario (4)
- Número irracional
- Número que no puede expresarse como una fracción exacta de dos números enteros.
- Número racional
- Número que puede expresarse como una fracción de dos números enteros con denominador diferente de cero.
- Hipotenusa
- Lado mayor de un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.
- Diagonal
- Segmento que une dos vértices no consecutivos de una figura; en un rectángulo es su lado más largo.
Preguntas para practicar
¿Por qué la diagonal de un rectángulo representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo?
¿Por qué una raíz cuadrada no exacta suele ser irracional?
¿Qué diferencia existe entre un decimal finito y un decimal infinito no periódico?
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se identifica un número irracional?
¿Cómo calcular la diagonal de un rectángulo con Pitágoras?
¿Cuál es la diferencia entre un número racional e irracional?
- • Reconocer catetos e hipotenusa en un triángulo rectángulo
- • Aplicar el teorema de Pitágoras
- • Calcular potencias y raíces cuadradas
- • Distinguir decimales exactos y periódicos
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Shutterstock, 481391746.
Tema 3
Competencia 9 comunicacional
El televisor es un aparato electrónico que sirve para receptar y reproducir las señales del sistema llamado televisión. A lo largo
de la historia, ha ido evolucionando.
Alos televisores se los identifica de acuerdo con la medida de la diagonal de su pantalla. Si un televisor tiene 15,2 pulgadas de
largo y 11,4 pulgadas de ancho, ¿cuál es la medida de la diagonal de la pantalla?
La diagonal determina las pulgadas de un TV.
es” Interdisciplinariedad
Matemática y Geometría
Los números irracionales son muy importantes cuando se realizan cálculos geométricos.
Por ejemplo el número pi 7 se utiliza para calcular áreas y volumen de formas circulares o esféricas.
Responde: ¿cuál es el valor de m?, ¿es un número racional o irracional?
Números irracionales. Números reales y redondeo
(Ea) Saberes previos
ae
Aplica el teorema de Pitagoras para determinar los datos desconocidos. =12 x : Y
A una pantalla de 19 pulgadas se le va a colocar un protector de 16 pulgadas de ancho y 13 pulgadas de altura. ¿Cuál es la medida exacta de su diagonal?
El protector de pantalla tiene una forma rectangular. Entre los lados que representan el largo, la altura y la diagonal se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal que buscamos. Por lo tanto, debemos aplicar el teorema de Pitágoras.
D=V16? +13?
D=256+169
D= 425
El número 425 no es un cuadrado perfecto; por lo tanto, usamos una calculadora para obtener el valor exacto. En ella observamos que el resultado es:
D=5V17 =20,615 528 13...
El número obtenido muestra un número decimal que no sigue un patrón; por lo tanto, no se puede convertir en fracción.
Un número irracional (Q') es aquel que no puede expresarse como el cociente exacto de dos números enteros.
| Los números irracionales tienen cifras decimales que no se repiten periddica- mente.
Ejemplo 1 Clasificar los números en: números enteros, racionales o irracionales.
b) 317 d) 32 e)
a) 1,333. ©) 2,236067977499
e) 2,41 f) 426
Solución
| Enteros 3B2 =2 |
lo = E 5 - |
| Racionales: se pueden convertir en fracción. 1,333..y 2,41 |
| 7 Vz |
| |
| Irracionales: no se puede obtener una fracción. 2,236 067 977 499 | 26 |
M.4.1.26, Reconocer el conjunto de los números irracionales e identificar sus elementos.
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