Mediana y moda en datos agrupados
Respuesta rápida
Media: 6,1.
Mediana del ejemplo: 5,67.
Moda del ejemplo: 6,2.
Intervalo mediano de la tabla: [30,5\mathbin{-}36,5).
Intervalo modal de la tabla: [24,5\mathbin{-}30,5).
Solución — Página 161
Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025
Media aritmética
La media para datos agrupados se calcula mediante:
\overline{X}=\frac{\sum x_i f_i}{N}
En el ejemplo:
\overline{X}=\frac{182}{30}=6,1
Por tanto, la media aritmética es 6,1.
Mediana
Para encontrar la mediana se calcula \frac{N}{2} y se busca ese valor en la columna de frecuencias acumuladas F_i. Si no aparece exactamente, se selecciona la primera frecuencia acumulada mayor que \frac{N}{2}.
La fórmula es:
M_e=L_i+A\left(\frac{\frac{N}{2}-F_{i-1}}{f_i}\right)
Donde:
- L_i es el límite inferior del intervalo mediano.
- A es la amplitud de los intervalos.
- F_{i-1} es la frecuencia acumulada anterior.
- f_i es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.
En el ejemplo:
M_e=5+2\left(\frac{\frac{30}{2}-13}{6}\right)
M_e=5+2\left(\frac{2}{6}\right)=5,67
La mediana es 5,67.
Moda
El intervalo modal es el que tiene la mayor frecuencia absoluta. La moda para datos agrupados se calcula con:
M_o=L_i+A\left[\frac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}\right]
Donde f_{i-1} es la frecuencia del intervalo anterior y f_{i+1} es la frecuencia del intervalo siguiente.
En el ejemplo:
M_o=3+2\left[\frac{8-5}{(8-5)+(8-6)}\right]
M_o=5+2\left(\frac{3}{3+2}\right)=6,2
La moda es 6,2.
Aplicación interdisciplinaria
En la tabla sobre el tiempo de reacción, el total de datos es N=394. La mitad de los datos es:
\frac{N}{2}=\frac{394}{2}=197
La frecuencia acumulada inmediatamente mayor que 197 es 326, correspondiente al intervalo [30,5\mathbin{-}36,5). Por eso, este es el intervalo mediano.
La mayor frecuencia absoluta es 134, correspondiente al intervalo [24,5\mathbin{-}30,5). Por eso, este es el intervalo modal.
La amplitud de todos los intervalos de la tabla es:
A=18,5-12,5=6
Contenido de la página
Medidas de tendencia central
La página presenta procedimientos y fórmulas para calcular la media, la mediana y la moda en distribuciones de datos agrupados.
Mediana
El intervalo mediano se determina comparando \frac{N}{2} con las frecuencias acumuladas. Luego se aplica la fórmula de la mediana para datos agrupados.
Moda
El intervalo modal es aquel cuya frecuencia absoluta es mayor. La fórmula utiliza las frecuencias del intervalo modal y de sus intervalos vecinos.
Interdisciplinariedad
Se analiza una tabla de tiempos de reacción expresados en décimas de segundo. El intervalo mediano es [30,5\mathbin{-}36,5) y el intervalo modal es [24,5\mathbin{-}30,5).
Ejemplos resueltos
Calcular la media aritmética si \sum x_i f_i=182 y N=30.
\overline{X}=\frac{182}{30}=6,1
La media aritmética es 6,1.
Calcular la mediana con L_i=5, A=2, N=30, F_{i-1}=13 y f_i=6.
M_e=5+2\left(\frac{\frac{30}{2}-13}{6}\right)=5+2\left(\frac{2}{6}\right)=5,67
La mediana es 5,67.
Calcular la moda con L_i=3, A=2, f_i=8, f_{i-1}=5 y f_{i+1}=6.
M_o=3+2\left[\frac{8-5}{(8-5)+(8-6)}\right]
M_o=3+2\left(\frac{3}{5}\right)=6,2
La moda es 6,2.
Tabla
| Tiempo | f_i | F_i |
|---|---|---|
| [12,5\mathbin{-}18,5) | 5 | 5 |
| [18,5\mathbin{-}24,5) | 57 | 62 |
| [24,5\mathbin{-}30,5) | 134 | 196 |
| [30,5\mathbin{-}36,5) | 130 | 326 |
| [36,5\mathbin{-}42,5) | 58 | 384 |
| [42,5\mathbin{-}48,5) | 10 | 394 |
Fórmulas y ecuaciones
Media: \overline{X}=\frac{\sum x_i f_i}{N}
Mediana: M_e=L_i+A\left(\frac{\frac{N}{2}-F_{i-1}}{f_i}\right)
Moda: M_o=L_i+A\left[\frac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}\right]
\overline{X}=\frac{\sum x_i f_i}{N}
M_e=L_i+A\left(@@MATH_0@@\right)
M_o=L_i+A\left[\frac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}\right]
Glosario (6)
- Frecuencia absoluta
- Número de datos que pertenecen a un intervalo.
- Frecuencia acumulada
- Suma progresiva de las frecuencias absolutas hasta un intervalo determinado.
- Intervalo mediano
- Intervalo que contiene la posición central de todos los datos.
- Intervalo modal
- Intervalo que presenta la mayor frecuencia absoluta.
- Amplitud
- Diferencia entre el límite superior y el límite inferior de un intervalo.
- Tiempo de reacción
- Tiempo transcurrido entre un estímulo o evento y la respuesta de una persona.
Temas y conceptos clave
Fuentes y referencias
- lynk.ec/9m16
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula la mediana de datos agrupados?
¿Cómo se identifica el intervalo modal?
¿Cuál es la diferencia entre media, mediana y moda?
- • Reconocer frecuencias absolutas y acumuladas
- • Identificar intervalos y sus límites
- • Realizar operaciones con fracciones y decimales
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1577 caracteres
Al aplicar la fórmula, tenemos:
xl Y DE LL 61 N 30
Mediana Me
Para calcularla se debe seleccionar un intervalo, el cual se identifica dividiendo el numero de datos por 2. La cantidad obtenida se busca en la columna de Fs De no haberla, se toma la mayor F siguiente.
N HE i M,=L,+A baa a donde:
i
L limite inferior del intervalo seleccionado. A amplitud de los intervalos.
Fi. Fianterior del intervalo seleccionado.
ñ frecuencia absoluta del intervalo.
Al aplicar la fórmula obtenemos:
23
M, =5+2| 2 7 [Mo =5,67
Moda Mo
Al igual que para la mediana, debemos seleccionar un intervalo al cual
llamaremos modal. Este intervalo corresponderá al que contiene a la mayor f. ff,
M,=1,+A Pad donde: pelis lea ‘zal sá
f_, — anterior a la del intervalo modal.
if siguiente a la del intervalo modal.
M, =3+2 pea iM, =5+2 Em =M,=6,2 (8-5)+(8-6) 3+2
CES Interdisciplinariedad
Matemática y Psicología
El tiempo que transcurre entre la finalización de la presentación de un chiste y el momento en que una persona comienza a reírse se denomina tiempo de reacción. En psicología, es un caso de estudio. La tabla muestra el resultado de una experiencia medida en décimas de segundo.
|
| (125-185) | 5 | 5 | 185-245) | 57 | 62 | [24,5 - 30,5) | 134 | 196 (305-365) | 130 | 326 (365-425) | 58 | 384 | [42,5 48,5) | 10 | 304 |
| | I | |
El intervalo de la mediana es: [30,5 — 36,5)
El intervalo modal es: [24,5 - 30,5)
Ws Competencia digital
Refuerza tu conocimiento sobre medidas de tendencia central; puedes revisar el siguiente video:
lynk.ec/9m16
Archivo Editorial
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