Un rectángulo mide 1 cm de ancho y 2 cm de largo. El ancho aumenta 1 cm cada vez y el largo se conserva. Completa la tabla de perímetros y determina la regularidad.

6,8,10,12,14,16,18 cm; aumenta 2 cm cada vez.

Si un triángulo se forma con 3 palillos, ¿cuántos palillos se necesitan para formar 10 triángulos unidos compartiendo un lado? Completa la regularidad.

21 palillos; la regularidad es sumar 2 palillos por cada triángulo nuevo.

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Problemas propuestos: regularidades y sucesiones

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Respuesta rápida

Perímetros: $6,8,10,12,14,16,18\text{ cm}$ ; aumentan $2\text{ cm}$ cada vez.
Para $10$ cuadrados se necesitan $31$ palillos; la regla es sumar $3$ .
Para $10$ triángulos se necesitan $21$ palillos; la regla es sumar $2$ .
La suma de los primeros $30$ números pares es $930$ .

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Solución — Página 165

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución de los problemas

Ejercicio 1

Perímetro del rectángulo

El perímetro de un rectángulo se calcula con la expresión $P=2(\text{ancho}+\text{largo})$ . Como el largo permanece en $2\text{ cm}$ :

$P=2(a+2)=2a+4$

Tabla:

Ancho $a$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Largo	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$
Perímetro	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$

Cada vez que el ancho aumenta $1\text{ cm}$ , el perímetro aumenta $2\text{ cm}$ , porque aumentan en $1\text{ cm}$ los dos lados correspondientes al ancho.

Ejercicio 2

Cuadrados formados con palillos

El primer cuadrado necesita $4$ palillos. Al agregar otro cuadrado, se comparte un lado, por lo que se necesitan únicamente $3$ palillos adicionales.

La regla es:

$N=4+3(n-1)=3n+1$

Cuadrados $n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$\ldots$	$10$
Número de palillos	$4$	$7$	$10$	$13$	$16$	$\ldots$	$31$

La regularidad consiste en sumar $3$ palillos por cada cuadrado nuevo.

Ejercicio 3

Triángulos formados con palillos

El primer triángulo necesita $3$ palillos. Al agregar un triángulo, se comparte un lado y se incorporan $2$ palillos nuevos.

La regla es:

$N=3+2(n-1)=2n+1$

Triángulos $n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$\ldots$	$10$
Número de palillos	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$	$\ldots$	$21$

La regularidad consiste en sumar $2$ palillos por cada triángulo nuevo.

Ejercicio 4

Suma de los primeros números pares

Los primeros números pares forman la sucesión $2,4,6,8,\ldots$ . Las sumas parciales son:

$2=2$

$2+4=6$

$2+4+6=12$

$2+4+6+8=20$

$2+4+6+8+10=30$

La suma de los primeros $n$ números pares se calcula mediante:

$2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)$

Para los primeros $30$ números pares:

$S_{30}=30(30+1)=30\times31=930$

Contenido de la página

Problemas propuestos

La página trabaja la identificación de regularidades mediante cuatro situaciones: el aumento del ancho de un rectángulo, la construcción de cuadrados y triángulos con palillos, y la suma de números pares. En cada caso se debe comprender el problema, plantear una estrategia, aplicarla y responder.

Ejemplos resueltos

¿Cuántos palillos se necesitan para formar $6$ cuadrados unidos en fila?

Se aplica $N=3n+1$ : $N=3(6)+1=19$ . Se necesitan $19$ palillos.

¿Cuánto suman los primeros $5$ números pares?

Se aplica $S_n=n(n+1)$ : $S_5=5(6)=30$ . Por tanto, $2+4+6+8+10=30$ .

Tablas (3)

| Ancho | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ $|\n|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|\n|$ Perímetro | $6$ | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ |

| Cuadrados | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $\ldots$ | $10$ $|\n|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|\n|$ Palillos | $4$ | $7$ | $10$ | $13$ | $16$ | $\ldots$ | $31$ |

| Triángulos | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $\ldots$ | $10$ $|\n|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|\n|$ Palillos | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ | $11$ | $\ldots$ | $21$ |

Fórmulas y ecuaciones

$P=2(\text{ancho}+\text{largo})$

$N=3n+1$ para cuadrados unidos en fila

$N=2n+1$ para triángulos unidos compartiendo un lado

$S_n=n(n+1)$ para los primeros $n$ números pares

$P=2(a+l)$

$P=2a+4$

$N_{\text{cuadrados}}=3n+1$

$N_{\text{triángulos}}=2n+1$

$2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)$

$S_{30}=30(31)=930$

Glosario (5)

Regularidad: Patrón o regla que se repite y permite predecir nuevos valores.
Perímetro: Medida de la longitud del contorno de una figura.
Sucesión: Conjunto ordenado de números que sigue una regla determinada.
Término general: Expresión que permite calcular cualquier término de una sucesión.
Números pares: Números enteros divisibles exactamente entre $2$.

Preguntas para practicar

Explica por qué el perímetro aumenta en $2\text{ cm}$ cuando el ancho aumenta en $1\text{ cm}$.

¿Cómo cambiaría la regla si los cuadrados no compartieran lados?

¿Qué relación observas entre la suma de los primeros números pares y los números cuadrados?

Temas y conceptos clave

Perímetro del rectánguloRegularidades con cuadradosRegularidades con triángulosSuma de números paresPerímetroPatrón crecienteRegla de formaciónSucesión aritméticaTérmino generalSuma de términos

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Figuras de la página (2)

Representación de uno y dos cuadrados amarillos unidos en fila. — Figura 2 image

Representación de uno y dos triángulos amarillos unidos y compartiendo un lado. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la fórmula para formar cuadrados con palillos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se suman los primeros números pares?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer figuras geométricas básicas
• Calcular el perímetro de un rectángulo
• Identificar patrones numéricos
• Multiplicar números naturales

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Sucesiones aritméticas y término general

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Problemas propuestos

Un rectángulo mide 1 cm de an-

cho y 2 cm de largo. Si el ancho

aumenta un centímetro cada

vez y el largo se conserva, ¿en > cuánto aumenta el perímetro? Comprueba si hay una regula-

ridad al completar la tabla. ¿Cuál 1 es la regularidad?

a) Comprender el problema.

NAT 112|3|4|5|6]|7

ENTES 2 | 2); 2)2)2)2 4) 2

Perimetro

b) Plantear la estrategia. c) Aplicar la estrategia.

d) Responder,

Si con cuatro palillos se puede formar un cua- drado, ¿cuántos palillos se necesitan para formar 10 cuadrados? Encuentra la regularidad al com- pletar la tabla. ¿Cuál es la regularidad?

1 2

a) Comprender el problema. b) Plantear la estrategia.

€) Aplicar la estrategia.

(MENIELLON 1|2|3|4|5]|...|10

Número

de palillos

d) Responder.