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Intervalos e inecuaciones

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Respuesta rápida

$5<8$ ; $-7>-10$ ; $12<14$ ; $100>94$ . Las fórmulas de compás son $\frac{4}{4}$ y $\frac{6}{4}$ , y $\frac{4}{4}<\frac{6}{4}$ .

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Solución — Página 192

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Saberes previos

Comparamos cada par de números:

$5$ es menor que $8$ , por tanto: $5<8$ .
$-7$ es mayor que $-10$ , por tanto: $-7>-10$ .
$12$ es menor que $14$ , por tanto: $12<14$ .
$100$ es mayor que $94$ , por tanto: $100>94$ .

Ejemplo musical

En el primer compás, la negra se repite $4$ veces y la redonda contiene $4$ negras. Su fórmula es:

$\frac{4}{4}$

En el segundo compás, la negra se repite $6$ veces. Su fórmula es:

$\frac{6}{4}$

Al comparar las fracciones, como tienen el mismo denominador, se comparan los numeradores:

$\frac{4}{4}<\frac{6}{4}$

Por eso, el primer compás es menor que el segundo.

Conceptos principales

Una desigualdad relaciona dos cantidades que no son iguales. Puede usar los signos $>$ , $<$ , $\geq$ o $\leq$ .

Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita. Por ejemplo:

$2x-1<7$

La solución de una inecuación puede expresarse mediante un intervalo y representarse gráficamente en la recta real.

Los paréntesis indican que el extremo no pertenece al intervalo.
Los corchetes indican que el extremo sí pertenece al intervalo.
El símbolo $\infty$ siempre se acompaña de paréntesis, porque no es un número real.

La taptana es una herramienta ancestral andina, semejante a un ábaco, que se empleaba para representar cantidades y realizar cálculos.

Contenido de la página

Desigualdades e inecuaciones

Una desigualdad es un enunciado que relaciona dos cantidades no iguales mediante signos como $>$ , $<$ , $\geq$ y $\leq$ .

Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita. Su solución se expresa mediante un intervalo.

Tipos de intervalos

Intervalo	Inecuación
$(a,b)$	$a<x<b$
$[a,b]$	$a\leq x\leq b$
$[a,b)$	$a\leq x<b$
$(a,b]$	$a<x\leq b$
$(a,\infty)$	$x>a$
$[a,\infty)$	$x\geq a$
$(-\infty,b)$	$x<b$
$(-\infty,b]$	$x\leq b$
$(-\infty,\infty)$	$-\infty<x<\infty$

Los paréntesis representan extremos que no se incluyen; los corchetes representan extremos que sí se incluyen.

Ejemplos resueltos

Compara las fórmulas de compás $\frac{4}{4}$ y $\frac{6}{4}$ .

Como ambas fracciones tienen el mismo denominador, se comparan los numeradores: $4<6$ . Por tanto, $\frac{4}{4}<\frac{6}{4}$ .

Tabla

| Intervalo | Inecuación $|\n|---|---|\n|$ $(a,b)$ | $a<x<b$ $|\n|$ $[a,b]$ | $a\leq x\leq b$ $|\n|$ $[a,b)$ | $a\leq x<b$ $|\n|$ $(a,b]$ | $a<x\leq b$ $|\n|$ $(a,\infty)$ | $x>a$ $|\n|$ $[a,\infty)$ | $x\geq a$ $|\n|$ $(-\infty,b)$ | $x<b$ $|\n|$ $(-\infty,b]$ | $x\leq b$ $|\n|$ $(-\infty,\infty)$ | $-\infty<x<\infty$ |

Fórmulas y ecuaciones

$a<x<b\Longleftrightarrow x\in(a,b)$

$a\leq x\leq b\Longleftrightarrow x\in[a,b]$

$a<x\leq b\Longleftrightarrow x\in(a,b]$

$a\leq x<b\Longleftrightarrow x\in[a,b)$

5<8

-7>-10

12<14

100>94

$\frac{4}{4}$ < $\frac{6}{4}$

2x-1<7

Glosario (7)

Desigualdad: Relación matemática que indica que dos cantidades no son iguales.
Inecuación: Desigualdad que contiene una o más incógnitas.
Intervalo: Conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos o que se extiende hacia el infinito.
Intervalo abierto: Intervalo cuyos extremos no están incluidos y se escriben con paréntesis.
Intervalo cerrado: Intervalo cuyos extremos están incluidos y se escriben con corchetes.
Compás musical: Segmento rítmico de una obra musical formado por una cantidad determinada de figuras musicales.
Taptana: Herramienta ancestral andina semejante a un ábaco, utilizada para representar cantidades y realizar cálculos.

Preguntas para practicar

¿Cómo se utiliza la taptana para representar cantidades y realizar cálculos?

Temas y conceptos clave

DesigualdadesInecuacionesIntervalos realesRepresentación gráfica de intervalosComparación de fraccionesDesigualdadInecuaciónIntervalo abiertoIntervalo cerradoExtremo de un intervaloRepresentación en la recta real

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📌 Antes de leer esto

• Comparar números enteros
• Reconocer los signos mayor que y menor que
• Leer fracciones
• Ubicar números en la recta numérica

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Resolución analítica de inecuaciones de primer grado

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Tema 4 Intervalos e inecuaciones

SL )

Ubica los signos > o <, según corresponda. 5 8 -7 -10 12-14 100 - 94

Las imagenes muestran una parte de las partituras de dos obras musicales, Cada imagen corresponde a compases diferentes; los dos compases usan la negra como figura Partitura musical de referencia. ¿Cuál es la fórmula de compas de cada una de las partituras? Al comparar las dos fórmulas de compás, ¿qué conclusión podemos emitir?

shutterstock, 4286551

Para el primero y segundo compás, la fracción de compás tendrá como denomina- dor el 4, pues ese es el número de veces que la negra está contenida en la redonda,

En el primer compás, el tiempo 1 de la negra se repite 4 veces, por tanto, la fracción ¿Sabías que? P P leas HM ” z A A sería 4. En el segundo compás se observa que ese tiempo se repite 6 veces. Los compases son 4 o 6 unidades de medición Entonces, la fracción es —. ; 4 de Alle ae ae Al comparar las dos fórmulas de compas, concluimos que la primera es menor a la segmentos rítmicos de 4 ji “4 6 una obra musical que segunda. Matemáticamente es: 4 2 están conformados por 4 4 una cantidad de figuras 7 ; 4 F musicales 9 | Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o expresiones no

| son iguales:a > b(aybE R) Para separar los | compases se Usa una línea vertical

| La desigualdad que contiene una incógnita se llama inecuación: 2x - 1 < 7

(la solución de una inecuación se expresa en forma de intervalo.

que atraviesa el pentagrama, A AP

(a,b) a<x<b yoo -[a,b] eye A, «[a, b) ash A Interculturalidad y = ie Nuestros ancestros + (4,6) a<xsb a _. indigenas utilizaban : = MMMM varias herramientas +(a,%) BSA lo para realizar cálculos eE E 7 ee matemáticos. Una de El rs ellas es la taptana, una *[a,00) x=d a 102 tabla similar a un abaco. : : came PE Se a reos Indaga en internet (0) x b acerca de cómo se usa MESE “Bie ——— E = > ara la taptana. + (-, b] x=b - b

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M.4.1.11. Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita en Z, de manera analítica, en la solución de ejercicios numéricos y problemas. M.4.1.39. Representar un intervalo en R de manera algebraica y gráfica, y reconocer el intervalo como la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita en R.

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