Resolución de inecuaciones aplicando propiedades

Propiedades de las desigualdades

• Si a<b<c, entonces a<c.
• Si a<b, al sumar o restar el mismo número en ambos miembros, se conserva la desigualdad: a+c<b+c y a-c<b-c.
• Si a<b y c>0, al multiplicar o dividir por c se conserva el sentido: ac<bc y \frac{a}{c}<\frac{b}{c}.
• Si a<b y c<0, al multiplicar o dividir por c se invierte el sentido: ac>bc y \frac{a}{c}>\frac{b}{c}.

Ejemplo 1

Resolver:

-2x-5\geq -4x+3

Sumamos 5+4x en ambos miembros:

-2x-5+5+4x\geq -4x+3+5+4x

2x\geq 8

Dividimos entre 2, que es positivo:

\frac{2x}{2}\geq\frac{8}{2}

x\geq 4

Por tanto, la solución en forma de intervalo es:

[4,\infty[

Ejemplo 2

Resolver:

-\frac{x}{2}-3<\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}

Trasponemos los términos:

-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}x<\frac{1}{4}+3

Reducimos términos semejantes:

-2x<\frac{13}{4}

Multiplicamos ambos miembros por -\frac{1}{2}. Como es un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad:

x>-\frac{13}{8}

La solución en forma de intervalo es:

\left]-\frac{13}{8},\infty\right[

Nota: al multiplicar por un número negativo, el signo debe cambiar de < a >.

Inecuaciones continuas

Una inecuación como

-6>2x+4\geq -10

puede resolverse simultáneamente. Restamos 4 en los tres miembros:

-10>2x\geq -14

Dividimos entre 2:

-5>x\geq -7

Reordenando los extremos:

-7\leq x<-5

La solución es:

[-7,-5[