Resuelve las inecuaciones con expresiones racionales.

a) ]-,2[; b) ]-,-7/85]; c) ]-,45/23]; d) [40/9,+[; e) ]-,75]; f) ]-,41/7[; g) ]-,-125/21]

Libro de Matemática 9 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Resolución de inecuaciones

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $[5,+\infty[$ ; b) $[2,+\infty[$ ; c) $]-\infty,15]$ ; d) $[5,+\infty[$ ; e) $]-\infty,-1[$ ; f) $]-\frac{3}{2},+\infty[$ ; g) $]-\infty,7]$ ; h) $]-\infty,\frac{1}{2}]$ ; i) $]-\infty,-3[$ .
a) $[-\frac{19}{9},+\infty[$ ; b) $]-21,+\infty[$ .
a) $]-\infty,2[$ ; b) $]-\infty,-\frac{7}{85}]$ ; c) $]-\infty,\frac{45}{23}]$ ; d) $[\frac{40}{9},+\infty[$ ; e) $]-\infty,75]$ ; f) $]-\infty,\frac{41}{7}[$ ; g) $]-\infty,-\frac{125}{21}]$ .
a) $]\frac{3}{2},+\infty[$ ; b) $]-11,3[$ ; c) $]4,8[$ ; d) $]-\infty,-4]$ ; e) $[\frac{1}{10},+\infty[$ ; f) $[\frac{100}{17},+\infty[$ ; g) $[-84,-29[$ .

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Solución — Página 195

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Se aplican las propiedades de las desigualdades: sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros no cambia el sentido; al multiplicar o dividir por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.

Ejercicio 6

Se despeja $x$ y se expresa cada solución como intervalo:

a) $x+2\geq 7\Rightarrow x\geq 5\Rightarrow [5,+\infty[$ .
b) $x-5\geq -3\Rightarrow x\geq 2\Rightarrow [2,+\infty[$ .
c) $x-10\leq 5\Rightarrow x\leq 15\Rightarrow ]-\infty,15]$ .
d) $2x\geq 10\Rightarrow x\geq 5\Rightarrow [5,+\infty[$ .
e) $x<-1\Rightarrow ]-\infty,-1[$ .
f) $-4x<6$ . Al dividir entre $-4$ , se invierte el signo: $x>-\frac{3}{2}\Rightarrow ]-\frac{3}{2},+\infty[$ .
g) $2x-7\leq -x+14\Rightarrow 3x\leq 21\Rightarrow x\leq 7\Rightarrow ]-\infty,7]$ .
h) $6x-10\leq -2-10x\Rightarrow 16x\leq 8\Rightarrow x\leq \frac{1}{2}\Rightarrow ]-\infty,\frac{1}{2}]$ .
i) $2x+7-x>4x+16\Rightarrow x+7>4x+16\Rightarrow -9>3x\Rightarrow x<-3\Rightarrow ]-\infty,-3[$ .

Ejercicio 7

a) $(x+6)(x+3)\geq(x+1)(x-1)$ . $x^2+9x+18\geq x^2-1$ $9x+19\geq 0\Rightarrow x\geq -\frac{19}{9}.$ La solución es $[-\frac{19}{9},+\infty[$ .
b) $(2x+1)(x+4)<(x+5)^2+x^2$ . $2x^2+9x+4<2x^2+10x+25$ $9x+4<10x+25\Rightarrow x>-21.$ La solución es $]-21,+\infty[$ .

Ejercicio 8

a) $5-(\frac{x}{4}-1)>3(x-\frac{1}{6})$ . $6-\frac{x}{4}>3x-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{13}{2}>\frac{13x}{4}\Rightarrow x<2.$
b) $\frac{3x}{4}-(x-\frac{3}{10})+2(\frac{x}{2}-1)\geq5(x-\frac{1}{5})$ . $\frac{3x}{4}-\frac{17}{10}\geq5x-1$ $-\frac{17x}{4}\geq\frac{7}{10}\Rightarrow x\leq-\frac{7}{85}.$
c) $3(x-\frac{2}{9})+\frac{x}{3}\leq-(\frac{2x}{27}-6)$ . $\frac{10x}{3}-\frac{2}{3}\leq-\frac{2x}{27}+6$ $\frac{92x}{27}\leq\frac{20}{3}\Rightarrow x\leq\frac{45}{23}.$
d) $\frac{x}{10}-\frac{2x}{5}\leq\frac{3x}{2}-8$ . $-\frac{3x}{10}\leq\frac{3x}{2}-8\Rightarrow 8\leq\frac{9x}{5}\Rightarrow x\geq\frac{40}{9}.$
e) $\frac{x-1}{2}-3\leq\frac{x}{3}+9$ . $\frac{x}{2}-\frac{7}{2}\leq\frac{x}{3}+9\Rightarrow \frac{x}{6}\leq\frac{25}{2}\Rightarrow x\leq75.$
f) $\frac{2}{5}+\frac{x}{3}>\frac{4x}{5}-\frac{7}{3}$ . $\frac{41}{15}>\frac{7x}{15}\Rightarrow x<\frac{41}{7}.$
g) $\frac{3}{4}-7x-\frac{9}{2}\geq\frac{5}{3}-8x+\frac{11x}{4}+5$ . $-\frac{15}{4}-7x\geq\frac{20}{3}-\frac{21x}{4}$ $-\frac{7x}{4}\geq\frac{125}{12}\Rightarrow x\leq-\frac{125}{21}.$

Ejercicio 9

En cada inecuación continua se resuelven por separado las dos desigualdades y luego se intersectan sus soluciones.

a) $4x+1\geq3x-5$ da $x\geq-6$ ; $3x-5>10-7x$ da $x>\frac{3}{2}$ . Por tanto, $x\in]\frac{3}{2},+\infty[$ .
b) $5>\frac{2-3x}{7}$ da $x>-11$ ; $\frac{2-3x}{7}>-1$ da $x<3$ . Por tanto, $x\in]-11,3[$ .
c) $2>4-\frac{x}{2}$ da $x>4$ ; $4-\frac{x}{2}>0$ da $x<8$ . Por tanto, $x\in]4,8[$ .
d) $2(x-5)\geq3(x-2)\Rightarrow 2x-10\geq3x-6\Rightarrow x\leq-4$ .
e) $-\frac{x}{2}-(6x-1)\leq x+\frac{1}{4}$ . $-\frac{13x}{2}+1\leq x+\frac{1}{4}\Rightarrow -\frac{15x}{2}\leq-\frac{3}{4}\Rightarrow x\geq\frac{1}{10}.$
f) $4-\frac{3x}{10}+\frac{1}{4}\leq3+\frac{x}{8}-\frac{5}{4}$ . $\frac{17}{4}-\frac{3x}{10}\leq\frac{7}{4}+\frac{x}{8}$ $\frac{5}{2}\leq\frac{17x}{40}\Rightarrow x\geq\frac{100}{17}.$
g) $-9\leq5+\frac{x}{6}<\frac{1}{6}$ . $x\geq-84\quad\text{y}\quad x<-29$ Por tanto, $x\in[-84,-29[$ .

Ejercicios 10 y 11

Para el trabajo colaborativo, se pueden ejemplificar las propiedades con inecuaciones como:

Sumar una cantidad: $x-3>5\Rightarrow x>8$ .
Multiplicar por un número positivo: $2x\leq 10\Rightarrow x\leq5$ .
Multiplicar por un número negativo e invertir el signo: $-3x>12\Rightarrow x<-4$ .

Tres enunciados que pueden representarse mediante una desigualdad son: “un número aumentado en 4 es menor que 12”, $x+4<12$ ; “el doble de un número es al menos 10”, $2x\geq10$ ; y “la edad de una persona es menor que 18 años”, $x<18$ .

Contenido de la página

Inecuaciones

Una inecuación compara dos expresiones mediante signos como $<$ , $>$ , $\leq$ o $\geq$ . Para resolverla se despeja la variable. Si se multiplica o divide por un número negativo, el signo debe invertirse.

En una inecuación continua, como $a<b<c$ , se resuelven las dos desigualdades y se toma la intersección de sus soluciones.

Ejemplos resueltos

Resuelve $-4x<6$ .

Al dividir entre $-4$ , se invierte el signo: $x>-\frac{3}{2}$ . En intervalo: $]-\frac{3}{2},+\infty[$ .

Resuelve $2>4-\frac{x}{2}>0$ .

Se resuelven ambas partes: $2>4-\frac{x}{2}$ da $x>4$ y $4-\frac{x}{2}>0$ da $x<8$ . La intersección es $]4,8[$ .

Fórmulas y ecuaciones

Si $a<b$ , entonces $a+c<b+c$ .

Si $a<b$ y $c>0$ , entonces $ac<bc$ .

Si $a<b$ y $c<0$ , entonces $ac>bc$ .

$x+2\geq7$

$(x+6)(x+3)\geq(x+1)(x-1)$

a<b<c

Glosario (4)

Inecuación: Desigualdad que contiene una o más variables.
Intervalo: Conjunto de números reales comprendidos entre ciertos extremos.
Inecuación continua: Desigualdad doble que establece que una expresión está entre dos valores.
Intersección: Conjunto de valores que pertenece simultáneamente a dos o más conjuntos.

Preguntas para practicar

¿Por qué se invierte el signo de una desigualdad al dividir por un número negativo?

¿Qué diferencia existe entre un intervalo abierto y uno cerrado?

¿Cómo se obtiene la solución de una inecuación continua?

Temas y conceptos clave

Inecuaciones linealesInecuaciones con productosInecuaciones con fraccionesInecuaciones continuasPropiedades de las desigualdadesDespejar la variableInvertir el signo al dividir por un número negativoIntersección de intervalosIntervalos abiertos y cerradosPropiedad distributiva

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