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Medidas de dispersión

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Media: $62,12$ ; rango: $36$ ; varianza: $69,79$ ; desviación típica: $8,35$ ; desviación media: $6,95$ ; $CV=13,44\%$ ; $CVM=11,19\%$ .

Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 197

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución del ejemplo

A partir de la tabla de frecuencias se tienen $N=100$ datos, la suma de los productos es $\sum x_i f_i=6212$ , la suma de las desviaciones cuadráticas es $\sum f_i(x_i-\overline{x})^2=6978,56$ y la suma de las desviaciones absolutas es $\sum f_i\lvert x_i-\overline{x}\rvert=695,04$ .

Ejercicio 1

Media aritmética

Se divide la suma de los productos entre el número total de datos:

$\overline{x}=\frac{\sum x_i f_i}{N}=\frac{6212}{100}=62,12$

La media aritmética de las calificaciones es $62,12$ .

Ejercicio 2

Rango

El rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo:

$R=x_{\max}-x_{\min}=79-43=36$

Por tanto, el rango es $36$ .

Ejercicio 3

Varianza

Se utiliza la suma de las desviaciones cuadráticas de la tabla:

$\sigma^2=\frac{\sum f_i(x_i-\overline{x})^2}{N}=\frac{6978,56}{100}=69,7856\approx69,79$

La varianza es aproximadamente $69,79$ .

Ejercicio 4

Desviación típica o estándar

Es la raíz cuadrada de la varianza:

$\sigma=\sqrt{69,79}\approx8,35$

La desviación típica es aproximadamente $8,35$ .

Ejercicio 5

Desviación media

Se calcula dividiendo la suma de las desviaciones absolutas entre el número de datos:

$DM=\frac{\sum f_i\lvert x_i-\overline{x}\rvert}{N}=\frac{695,04}{100}=6,9504\approx6,95$

La desviación media es aproximadamente $6,95$ .

Ejercicio 6

Coeficiente de variación

Relaciona la desviación típica con la media y se expresa como porcentaje:

$CV=\frac{\sigma}{\overline{x}}\cdot100\%=\frac{8,35}{62,12}\cdot100\%\approx13,44\%$

Ejercicio 7

Coeficiente de variación de la desviación media

Se relaciona la desviación media con la media aritmética:

$CVM=\frac{DM}{\overline{x}}\cdot100\%=\frac{6,95}{62,12}\cdot100\%\approx11,19\%$

La población A del gráfico presenta menor dispersión que la población B, aunque ambas tienen la misma media aritmética.

Contenido de la página

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión muestran qué tan alejados están los datos respecto de la media aritmética. En el ejemplo se trabaja con una tabla de calificaciones agrupadas en intervalos y sus respectivas frecuencias.

Datos acumulados de la tabla

$N=100$
$\sum x_i f_i=6212$
$\sum f_i(x_i-\overline{x})^2=6978,56$
$\sum f_i\lvert x_i-\overline{x}\rvert=695,04$

Fórmulas principales

Media: $\overline{x}=\frac{\sum x_i f_i}{N}$
Rango: $R=x_{\max}-x_{\min}$
Varianza: $\sigma^2=\frac{\sum f_i(x_i-\overline{x})^2}{N}$
Desviación típica: $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$
Desviación media: $DM=\frac{\sum f_i\lvert x_i-\overline{x}\rvert}{N}$
Coeficiente de variación: $CV=\frac{\sigma}{\overline{x}}\cdot100\%$
Coeficiente de variación de la desviación media: $CVM=\frac{DM}{\overline{x}}\cdot100\%$

En el gráfico, las poblaciones A y B tienen la misma media, pero la población A presenta menor dispersión.

Ejemplos resueltos

Calcular las medidas de dispersión de las calificaciones agrupadas de la tabla.

Con $N=100$ , $\sum x_i f_i=6212$ , $\sum f_i(x_i-\overline{x})^2=6978,56$ y $\sum f_i\lvert x_i-\overline{x}\rvert=695,04$ , se obtiene $\overline{x}=62,12$ , $R=36$ , $\sigma^2\approx69,79$ , $\sigma\approx8,35$ , $DM\approx6,95$ , $CV\approx13,44\%$ y $CVM\approx11,19\%$ .

Tabla

Medida	Resultado
Media aritmética	$62,12$
Rango	$36$
Varianza	$69,79$
Desviación típica	$8,35$
Desviación media	$6,95$
Coeficiente de variación	$13,44\%$
Coeficiente de variación de la desviación media	$11,19\%$

Fórmulas y ecuaciones

Varianza: $\sigma^2=\frac{\sum f_i(x_i-\overline{x})^2}{N}$

Desviación típica: $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

Coeficiente de variación: $CV=\frac{\sigma}{\overline{x}}\cdot100\%$

$\overline{x}=\frac{\sum x_i f_i}{N}$

$R=x_{\max}-x_{\min}$

$\sigma^2=\frac{\sum f_i(x_i-\overline{x})^2}{N}$

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

$DM=\frac{\sum f_i\lvert x_i-\overline{x}\rvert}{N}$

$CV=\frac{\sigma}{\overline{x}}\cdot100\%$

$CVM=\frac{DM}{\overline{x}}\cdot100\%$

Glosario (5)

Dispersión: Grado en que los datos se alejan o se concentran alrededor de la media.
Varianza: Promedio de las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de la media.
Desviación estándar: Raíz cuadrada de la varianza; también se llama desviación típica.
Desviación media: Promedio de los valores absolutos de las desviaciones respecto de la media.
Coeficiente de variación: Razón entre la desviación estándar y la media, expresada como porcentaje.

Temas y conceptos clave

Media aritmética para datos agrupadosRangoVarianzaDesviación típica o estándarDesviación mediaCoeficiente de variaciónLa varianza mide la dispersión mediante desviaciones cuadráticas.La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.La desviación media usa los valores absolutos de las desviaciones.El coeficiente de variación expresa la dispersión relativa en porcentaje.Un menor coeficiente de variación indica menor dispersión relativa.

Fuentes y referencias

lynk.ec/9m23

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la varianza con una tabla de frecuencias?

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¿Cuál es la diferencia entre desviación media y desviación estándar?

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¿Cómo se interpreta el coeficiente de variación?

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📌 Antes de leer esto

• Reconocer datos agrupados en intervalos.
• Calcular la media aritmética.
• Operar con frecuencias y números decimales.
• Extraer datos de una tabla de frecuencias.

Siguiente tema sugerido

Interpretación y comparación de medidas de dispersión

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1828 caracteres

De acuerdo con los requerimientos de las fórmulas se crea en la tabla de frecuencia una columna para registrar f,, que servirá para calcular la media aritmética. Además, se agregan columnas para registrar los otros requerimientos.

Xx f= Nef xXx OY xx] [43 - 47) | 45 6 2710 | -17,12 1 758,57 | 102,72 [47 - 51) | 49 10 490 -13,12 1721,34 | 13172 [51 - 55) | 58 2 106 -9,12 166,35 | 18,24 [55 - 59) 57 16 912 =5,12 41943 81/92 [59 - 63) | 61 12. 732. -1,12 15,05 13,44 [63 - 67) | 65 20 1300 2,88 165,88 | 57,6 [67 - 71) | 69 24 1656 6,88 1 136,03 165,12 [71 - 75) 73 6 438 10,88 710,25 | 65,28 | [75 - 79] | 77 4 308 14,88 885,66 59,52 | 3 100 6212 6 978,56 | 695,04 pal y, aa Xx =62,12

Rango R=x,-x,; R=79-43; R=36

Varianza

f(x-xy el ra ¡OS 069,79

Al comparar con la media aritmética, se observa que no es un valor tan alejado.

Desviación típica

Ex=xy ón DARA, o =,/69,79; o =8,35

Desviación media

DM= 2, pM = 2%. py =6,95 N 100

Coeficiente de variación

V=2-100%; cv=%2% .100%=13,44 % X 62,12

Coeficiente de variación de la desviación media

cm=2%.100%; m2 100 %; CVM=1 1,19 % x 62,12