Aproximación, comparación y operaciones con números irracionales

Se calculan los valores en la calculadora con seis cifras decimales y luego se redondean a las décimas.

• a) \sqrt{7}=2,645751\ldots\approx 2,6
• b) \sqrt{13}=3,605551\ldots\approx 3,6
• c) 1+\sqrt{11}=4,316625\ldots\approx 4,3
• d) \sqrt{21}-4=0,582576\ldots\approx 0,6
• e) \frac{5-\sqrt{71}}{2}=-1,713075\ldots\approx -1,7
• f) \sqrt{2}+\sqrt{3}=3,146264\ldots\approx 3,1
• g) \frac{\sqrt{5}-7}{3}=-1,587977\ldots\approx -1,6
• h) \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{3}=1,870589\ldots\approx 1,9
• i) \frac{\sqrt{6}-1}{2}=0,724745\ldots\approx 0,7

Usando \pi\approx 3,14, e\approx 2,72 y \varphi\approx 1,62:

• a) 2\pi=2\times 3,14=6,28
• b) \frac{\pi}{4}=0,25\times 3,14=0,785
• c) 5,2e=5,2\times 2,72=14,144
• d) 8\varphi=8\times 1,62=12,96

Se aproximan los números a las milésimas y se comparan:

• a) \frac{24}{7}\approx 3,429 y \sqrt{10}\approx 3,162; por tanto, \frac{24}{7}>\sqrt{10}.
• b) \sqrt{5}\approx 2,236 y \frac{7}{3}\approx 2,333; por tanto, \sqrt{5}<\frac{7}{3}.
• c) 3\pi\approx 9,425 y 2\sqrt{9}=6; por tanto, 3\pi>2\sqrt{9}.
• d) 2,718<2e\approx 5,437.
• e) 1,12<\frac{3}{5}\varphi\approx 0,972 no es correcto al comparar directamente: 1,120>0,972. Por tanto, 1,12>\frac{3}{5}\varphi.
• f) \sqrt{7}\approx 2,646 y \frac{23}{11}\approx 2,091; por tanto, \sqrt{7}>\frac{23}{11}.
• g) \frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118 y \frac{\pi}{3}\approx 1,047; por tanto, \frac{\sqrt{5}}{2}>\frac{\pi}{3}.
• h) -\sqrt{23}\approx -4,796 y -\sqrt[3]{96}\approx -4, rookie?579; por tanto, -\sqrt{23}<-\sqrt[3]{96}.
• i) -\frac{\sqrt{15}}{3}\approx -1,291 y -\frac{\sqrt{17}}{4}\approx -1,031; por tanto, -\frac{\sqrt{15}}{3}<-\frac{\sqrt{17}}{4}.

Para ordenar, se consideran aproximaciones a las centésimas.

Se convierten las medidas de centímetros a pulgadas:

45,72\div 2,54=18\text{ pulgadas}

25,4\div 2,54=10\text{ pulgadas}

Como 18 y 10 son números naturales, sí es posible la existencia de ese televisor. Sus dimensiones serían de 18 pulgadas de largo y 10 pulgadas de altura.

Se descomponen los radicandos en factores con exponentes adecuados:

• a) \sqrt{48x^3}=\sqrt{16x^2\cdot 3x}=4x\sqrt{3x}.
• b) \sqrt{128x^5y^2}=\sqrt{64x^4y^2\cdot 2x}=8x^2y\sqrt{2x}.
• c) \sqrt[3]{40a^3b^4}=\sqrt[3]{8a^3b^3\cdot 5b}=2ab\sqrt[3]{5b}.
• d) \sqrt[5]{972m^{11}n^5}=\sqrt[5]{3^5m^{10}n^5\cdot 4m}=3m^2n\sqrt[5]{4m}.

Para construir consecutivamente las raíces, se utiliza un triángulo rectángulo. Si un cateto mide 1 y la hipotenusa anterior mide \sqrt{n}, el nuevo cateto perpendicular mide 1 y la hipotenusa será:

\sqrt{n+1}=\sqrt{(\sqrt{n})^2+1^2}

Así se obtienen, aproximadamente, \sqrt{3}\approx1,732, \sqrt{4}=2, \sqrt{5}\approx2,236, \sqrt{6}\approx2,449 y \sqrt{7}\approx2,646.

La razón áurea es el número irracional \varphi, cuyo valor aproximado es 1,618. Se obtiene al dividir un segmento de modo que la razón entre el segmento completo y la parte mayor sea igual a la razón entre la parte mayor y la parte menor:

\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,618

Para la exposición se puede elaborar un rectángulo áureo, dibujar una espiral y mostrar ejemplos relacionados con el arte, la arquitectura y algunos patrones naturales.