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Producto cartesiano. Relaciones

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 9° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Dos pares ordenados $(x,y)$ y $(z,w)$ son iguales cuando $x=z$ y $y=w$ .

El conjunto de posibilidades de nominación tiene $6$ pares ordenados.

$|Q\times R|=|R\times Q|=9$

$Q\times R\ne R\times Q$

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 216

Matematica 9° · Egb 9 Matematica 2025 · 2025

Desequilibrio cognitivo

Dos pares ordenados $(x,y)$ y $(z,w)$ son iguales si y solo si sus componentes correspondientes son iguales. Por tanto:

$x=z \quad \text{y} \quad y=w$

Situación de los nombres y apellidos

Se consideran los conjuntos:

$A=\{\text{Paola},\text{Sol}\}$

$B=\{\text{Salas},\text{Cóndor},\text{Gualpa}\}$

El producto cartesiano $A\times B$ contiene todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a $A$ y cuya segunda componente pertenece a $B$ :

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ \text{y}\ b\in B\}$

Por lo tanto:

$A\times B=\{(\text{Paola},\text{Salas}), (\text{Paola},\text{Cóndor}), (\text{Paola},\text{Gualpa}), (\text{Sol},\text{Salas}), (\text{Sol},\text{Cóndor}), (\text{Sol},\text{Gualpa})\}$

Hay $2\times 3=6$ posibilidades de nominación.

Ejemplo 1

Dados:

$Q=\{1,3,5\},\qquad R=\{x,y,z\}$

Cada conjunto tiene cardinalidad $3$ . Entonces:

$|Q\times R|=|R\times Q|=3\times 3=9$

El primer producto cartesiano es:

$Q\times R=\{(1,x),(1,y),(1,z),(3,x),(3,y),(3,z),(5,x),(5,y),(5,z)\}$

El producto en el orden contrario es:

$R\times Q=\{(x,1),(y,1),(z,1),(x,3),(y,3),(z,3),(x,5),(y,5),(z,5)\}$

Aunque ambos productos tienen $9$ elementos, sus pares ordenados son diferentes. Por ello:

$Q\times R\ne R\times Q$

El producto cartesiano no es conmutativo.

Contenido de la página

Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ es el conjunto formado por todos los pares ordenados $(a,b)$ , donde $a\in A$ y $b\in B$ .

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ \text{y}\ b\in B\}$

La cardinalidad indica la cantidad de elementos de un conjunto. Si $A$ tiene $m$ elementos y $B$ tiene $n$ elementos, entonces:

$|A\times B|=|A|\times |B|=m\times n$

El orden de los conjuntos es importante, porque generalmente:

$A\times B\ne B\times A$

Dos pares ordenados son iguales únicamente cuando son iguales sus componentes correspondientes:

$(x,y)=(z,w)\iff x=z\ \text{y}\ y=w$

Ejemplos resueltos

Dados $Q=\{1,3,5\}$ y $R=\{x,y,z\}$ , obtener $Q\times R$ y $R\times Q$ .

Cada conjunto tiene $3$ elementos, por lo que cada producto tiene $3\times 3=9$ pares ordenados.

$Q\times R=\{(1,x),(1,y),(1,z),(3,x),(3,y),(3,z),(5,x),(5,y),(5,z)\}$

$R\times Q=\{(x,1),(y,1),(z,1),(x,3),(y,3),(z,3),(x,5),(y,5),(z,5)\}$

Como los pares ordenados no son los mismos, $Q\times R\ne R\times Q$ .

Fórmulas y ecuaciones

$|A\times B|=|A|\times |B|$

$(a,b)=(c,d)\iff a=c\ \text{y}\ b=d$

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ \text{y}\ b\in B\}$

$|A\times B|=|A|\times |B|$

$(x,y)=(z,w)\iff x=z\ \text{y}\ y=w$

$Q\times R\ne R\times Q$

Glosario (5)

Producto cartesiano: Conjunto de todos los pares ordenados formados con un elemento del primer conjunto y uno del segundo.
Par ordenado: Pareja de elementos escrita en un orden específico, como $(a,b)$.
Cardinalidad: Cantidad de elementos que tiene un conjunto.
Conjunto: Colección de elementos que comparten una característica o están definidos de manera precisa.
Relación binaria: Relación entre elementos de dos conjuntos, representable mediante pares ordenados.

Preguntas para practicar

¿Cómo se puede representar un producto cartesiano mediante un diagrama sagital?

¿Qué ocurre con la cardinalidad del producto cartesiano si uno de los conjuntos tiene más elementos?

Temas y conceptos clave

Producto cartesianoPares ordenadosCardinalidadNo conmutatividad del producto cartesianoRelaciones entre conjuntosUn par ordenado tiene una primera y una segunda componente.En $A\times B$, la primera componente pertenece a $A$ y la segunda pertenece a $B$.Si $|A|=m$ y $|B|=n$, entonces $|A\times B|=m\times n$.En general, $A\times B\ne B\times A$.

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Figuras de la página (2)

Diagrama sagital que representa relaciones mediante flechas entre dos conjuntos. — Figura 2 image

Plano cartesiano con puntos que representan pares ordenados. — Figura 3 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el producto cartesiano de dos conjuntos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuántos pares ordenados tiene un producto cartesiano?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el producto cartesiano no es conmutativo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Reconocer y representar conjuntos
• Identificar los elementos de un conjunto
• Comprender el orden de los elementos en un par ordenado
• Multiplicar números naturales

Siguiente tema sugerido

Relaciones binarias como subconjuntos de un producto cartesiano

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2569 caracteres

Tema 1

Para elegir el nombre de un hijo o una hija, buscamos varias combinaciones.

Do ES Recuerda que... Los conjuntos pueden ser representados en forma sagital. El producto cartesiano se visualiza a través de flechas que relacionan los elementos de un conjunto con los del otro.

A ——>

Los elementos también pueden ser representados en los ejes de un sistema de coordenadas.

Producto cartesiano. Relaciones

~ Desequilibrio cognitivo

¿Qué condición debe cumplirse para que los pares ordenados A (x, y) y B (2, w | sean iguales?

La noción de producto cartesiano se utiliza ampliamente en álgebra. La idea medular consiste en la relación que se establece entre dos conjuntos no vacíos para dar lugar a un tercer conjunto, formado por pares ordenados. En este tema vamos a estudiar sobre el producto cartesiano y las relaciones entre dos conjuntos no vacíos.

Tres amigas embarazadas de niñas consideran que Paola y Sol son nombres apropiados para sus hijas. El apellido que llevaría una de las niñas es Salas, otro es Cóndor y el tercero es Gualpa. ¿Cuáles serían las posibilidades de nominación de las niñas?

Consideremos a A como el conjunto formado por los nombres y B el conjunto formado por los apellidos.

A= (Paola, Sol) B= (salas, Cóndor, Gualpa)

Consideremos al producto cartesiano de dos conjuntos como la vía de solución, por lo tanto, definámoslo.

| El producto cartesiano A x B efectuado entre dos conjuntos no vacios, uno A y otro B, es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a; b) de manera que la primera componente “a" pertenece al conjunto A y la segunda compo- nente“b" pertenece al conjunto B.

AxB =[(a;b)EAxB/aEA y DEB)

El cardinal de un conjunto indica el número o la cantidad de los elementos de | un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita.

Aplicando esta definición, tenemos las siguientes posibilidades de nominación. a les Salas), (Paola; Cóndor), (Paola; nS

(Sol; Salas), (Sol, Condor), (Sol; Gualpa) Ejemplo 1

Con los conjuntos O = {1 3, 5) y R= {x, y, z), obtener los productos cartesianos OXRyRxQ.

Solución

Como la cardinalidad de los conjuntos es ng =3 y n,=3, la cardinalidad de los productos sera: No p =Mpxo =3X3=9

oxr=((1).(13).0,,.3:).81),82).(5).(5.1).(5.2); RxQ= [Qe 1), (y 1), (z, 1), (x, 3), (y, 3), (z, 3), (E 5), (y, 5), (z, 5)}

Estos resultados muestran que QxR#RxQ; por lo tanto, concluimos que el producto cartesiano no es conmutativo.

M.4.1.42. Calcular el producto cartesiano entre dos conjuntos para definir relaciones binarias (subconjuntos), representándolas con pares ordenados.

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